Rango di una matrice con teorema degli orlati

[darakum]

Ciao a tutti ragazzi,non riesco proprio a calcolare il rango di una matrice tramite il teorema degli orlati..Chi mi da una mano? Grazie !


Propongo un esempio:

$A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0))$



Da come ho capito più o meno...


$A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0))$

Nel mio caso prendo il minore di ordine 2:

$A= ((1,0),(2,3))$

E calcolo il determinante

$|A'|= 3 $ ---> 3 diverso da 0.

Ora:

Se il determinante della matrice A è diverso da zero ho il rango massimo nel mio caso 4.

Mentre,se il determinante della matrice A è uguale a 0,ho il rango minimo che nel mio caso è 3.

FIno a qui tutto giusto? Chi mi spiega i passaggi da eseguire per calcolare il rango della seguente matrice tramite il teorema degli orlati..? in particolare quando devo considerare ed esaminare i determinanti dei minori orlati..? Grazie!

[alessandro8]

Ciao.

Data la matrice

$A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0))$

si prende un minore

$A'=((1,0),(2,3))$

che, avendo determinante non nullo, garantisce che $rkA>=2$.

D'altra parte si deve avere $rkA<=3$, perchè il massimo rango che può avere una matrice non può superare il valore minimo tra numero di righe e numero di colonne della matrice stessa.

Gli orlati di $A'$ sono dati da

$O_1(A')=((1,0,1),(2,3,-1),(0,1,-1))$

$O_2(A')=((1,0,1),(2,3,2),(0,1,0))$

Siccome $|O_1(A')|=|O_2(A')|=0$, allora, per il teorema degli orlati, si ha $rkA=2$.

Saluti.

[darakum]

Ciao.

Data la matrice

$A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0))$

si prende un minore

$A'=((1,0),(2,3))$

che, avendo determinante non nullo, garantisce che $rkA>=2$.

D'altra parte si deve avere $rkA<=3$, perchè il massimo rango che può avere una matrice non può superare il valore minimo tra numero di righe e numero di colonne della matrice stessa.

Gli orlati di $A'$ sono dati da

$O_1(A')=((1,0,1),(2,3,-1),(0,1,-1))$

$O_2(A')=((1,0,1),(2,3,2),(0,1,0))$

Siccome $|O_1(A')|=|O_2(A')|=0$, allora, per il teorema degli orlati, si ha $rkA=2$.

Saluti.

Ciao,grazie mille per la risposta!

Ho capito lo svolgimento solo non mi è chiaro come posso sapere il valore del rango minimo e massimo..

Per quanto riguarda il massimo esso sarà uguale al numero di righe e colonne? Mentre per quello minimo,mi basta sottrarre uno a quello massimo ? Ovvero:

Numero righe e colonne matrice A = 4 ---> Rango massimo = 4

Rango minimo = 3 --> (4-1=3)

Spero di essermi spiegato bene e di aver centrato il punto del mio problema...Grazie ancora!

[alessandro8]

Ciao.

Alcuni chiarimenti sui possibili valori del rango di una matrice.

Rango massimo di una matrice.

Data una matrice $A$, dotata di $m$ righe e $n$ colonne, si ha che $rkA<=min(m,n)$.

Quindi, data la matrice dell'esempio

$ A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0)) $

essendo, questa, dotata di tre righe e quattro colonne, si avrà che $rkA<=min(3,4)=3$.

E' impossibile avere $rkA=4$.

Rango minimo di una matrice.

L'unica matrice con rango nullo è quella nulla; se un solo coefficiente della matrice è non nullo, la conseguenza è quella per cui il suo rango non potrà essere inferiore a uno.

Se una matrice possiede almeno due righe (o due colonne) che non siano l'una multiplo dell'altra, si ha che il rango della matrice non potrà essere inferiore a due.

Se una matrice ha un minore di ordine $k$ con determinante non nullo, si ha che $rkA>=k$.

Nel caso della stessa matrice dell'esempio

$ A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0)) $

esiste un suo minore di ordine $2$, dato da

$ A'=((1,0),(2,3)) $

con determinante non nullo, quindi $rkA>=2$.

Chiaro?

Saluti.

[darakum]

Ciao.

Alcuni chiarimenti sui possibili valori del rango di una matrice.

Rango massimo di una matrice.

Data una matrice $A$, dotata di $m$ righe e $n$ colonne, si ha che $rkA<=min(m,n)$.

Quindi, data la matrice dell'esempio



essendo, questa, dotata di tre righe e quattro colonne, si avrà che $rkA<=min(3,4)=3$.

E' impossibile avere $rkA=4$.

Rango minimo di una matrice.

L'unica matrice con rango nullo è quella nulla; se un solo coefficiente della matrice è non nullo, la conseguenza è quella per cui il suo rango non potrà essere inferiore a uno.

Se una matrice possiede almeno due righe (o due colonne) che non siano l'una multiplo dell'altra, si ha che il rango della matrice non potrà essere inferiore a due.

Se una matrice ha un minore di ordine $k$ con determinante non nullo, si ha che $rkA>=k$.

Nel caso della stessa matrice dell'esempio

$ A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0)) $

esiste un suo minore di ordine $2$, dato da

$ A'=((1,0),(2,3)) $

con determinante non nullo, quindi $rkA>=2$.

Chiaro?

Saluti.

Tutto chiaro,grazie!

L'unico dubbio che mi rimane,è come applicare il teorema degli orlati ad una matrice per calcolare il rango..

TI pongo un altro esempio..


$ A= ((2,0,1,1),(2,4,-1,2),(0,1,-1,0)) $

Scelgo il seguente minore di ordine 2.

$ A'= ((2,0),(2,4)) |A'| = 8 $ rango maggiore uguale a 2.

Ora devo prendere gli orlati di A' ma non ho capito come si fa ad individuarli.. Grazie!

[alessandro8]

L'unico dubbio che mi rimane,è come applicare il teorema degli orlati ad una matrice per calcolare il rango..

TI pongo un altro esempio..


$ A= ((2,0,1,1),(2,4,-1,2),(0,1,-1,0)) $

Scelgo il seguente minore di ordine 2.

$ A'= ((2,0),(2,4)) |A'| = 8 $ rango maggiore uguale a 2.

Ora devo prendere gli orlati di A' ma non ho capito come si fa ad individuarli.. Grazie!

Nel caso in questione, gli orlati di $A'$ sono dati da

$O_1(A')=((2,0,1),(2,4,-1),(0,1,-1))$

ottenuto aggiungendo alla matrice $A'$ un "orlo" visualizzabile da $A$ secondo questa modalità

$((a,a,1,xx),(a,a,-1,xx),(0,1,-1,xx))$

e

$O_2(A')=((2,0,1),(2,4,2),(0,1,0))$

ottenuto aggiungendo alla matrice $A'$ un "orlo" visualizzabile da $A$ secondo questa modalità

$((a,a,xx,1),(a,a,xx,2),(0,1,xx,0))$

N.B. $a,xx$ non sono variabili numeriche, sono solo simboli.

In questo caso, avendo $|O_1(A')|!=0$, ne consegue che $rkA=3$.

Saluti.

[darakum]

L'unico dubbio che mi rimane,è come applicare il teorema degli orlati ad una matrice per calcolare il rango..

TI pongo un altro esempio..


$ A= ((2,0,1,1),(2,4,-1,2),(0,1,-1,0)) $

Scelgo il seguente minore di ordine 2.

$ A'= ((2,0),(2,4)) |A'| = 8 $ rango maggiore uguale a 2.

Ora devo prendere gli orlati di A' ma non ho capito come si fa ad individuarli.. Grazie!

Nel caso in questione, gli orlati di $A'$ sono dati da

$O_1(A')=((2,0,1),(2,4,-1),(0,1,-1))$

ottenuto aggiungendo alla matrice $A'$ un "orlo" visualizzabile da $A$ secondo questa modalità

$((a,a,1,xx),(a,a,-1,xx),(0,1,-1,xx))$

e

$O_2(A')=((2,0,1),(2,4,2),(0,1,0))$

ottenuto aggiungendo alla matrice $A'$ un "orlo" visualizzabile da $A$ secondo questa modalità

$((a,a,xx,1),(a,a,xx,2),(0,1,xx,0))$

N.B. $a,xx$ non sono variabili numeriche, sono solo simboli.

In questo caso, avendo $|O_1(A')|!=0$, ne consegue che $rkA=3$.

Saluti.

Okay,tutto chiaro..!

Quindi in conclusione i passaggi da fare sono:

1) Prendere la matrice A e calcolare il determinante del minore che scelgo.

2) Calcolare il determinante dell'intera matrice di partenza per vedere se il rango è massimo (Nel caso in cui det diverso da zero) . In caso positivo,fermarsi qui..In caso negativo..

3) Trovare gli altri minori e calcolarne il determinante (se hanno tutti uguale a zero,il rango è il minimo).

Giusto come cosa?

[alessandro8]

Quindi in conclusione i passaggi da fare sono:

1) Prendere la matrice A e calcolare il determinante del minore che scelgo.

2) Calcolare il determinante dell'intera matrice di partenza per vedere se il rango è massimo (Nel caso in cui det diverso da zero) . In caso positivo,fermarsi qui..In caso negativo..

3) Trovare gli altri minori e calcolarne il determinante (se hanno tutti uguale a zero,il rango è il minimo).

Direi:

1) si prova a vedere se si trova un minore di ordine massimo¹ che abbia deteminante non nullo; in caso affermativo, il rango della matrice data è massimo;

2) qualora non fosse semplice trovare un minore di ordine massimo, si considera un minore di ordine inferiore con determinante sicuramente non nullo, dopodichè è sufficiente provare a calcolare i determinanti degli orlati di quest'ultimo minore; se si trova che tutti gli orlati hanno determinante nullo, allora il rango della matrice coincide con l'ordine del minore considerato, in caso contrario il rango sarà maggiore.

Saluti.

---

Note

1. ordine massimo=min(nr.righe;nr.colonne) ↑

[darakum]

Quindi in conclusione i passaggi da fare sono:

1) Prendere la matrice A e calcolare il determinante del minore che scelgo.

2) Calcolare il determinante dell'intera matrice di partenza per vedere se il rango è massimo (Nel caso in cui det diverso da zero) . In caso positivo,fermarsi qui..In caso negativo..

3) Trovare gli altri minori e calcolarne il determinante (se hanno tutti uguale a zero,il rango è il minimo).

Direi:

1) si prova a vedere se si trova un minore di ordine massimo¹ che abbia deteminante non nullo; in caso affermativo, il rango della matrice data è massimo;

2) qualora non fosse semplice trovare un minore di ordine massimo, si considera un minore di ordine inferiore con determinante sicuramente non nullo, dopodichè è sufficiente provare a calcolare i determinanti degli orlati di quest'ultimo minore; se si trova che tutti gli orlati hanno determinante nullo, allora il rango della matrice coincide con l'ordine del minore considerato, in caso contrario il rango sarà maggiore.

Saluti.

E come faccio a capire quel "maggiore" a quanto corrisponde?

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Note

1. ordine massimo=min(nr.righe;nr.colonne) ↑

[alessandro8]

E come faccio a capire quel "maggiore" a quanto corrisponde?

Se si trovasse un orlato $O(A')$ (di un minore $A'$ di $A$) avente determinante non nullo, si avrebbe la certezza che $rkA>=rk(A')+1$; se tale nuovo valore di rango non dovesse essere coincidente con quello massimo assoluto potenzialmente ammissibile dalla matrice $A$, si potrebbe riapplicare il teorema degli orlati assumendo come nuovo minore $A''=O(A')$ e costruendo nuovi orlati $O_i(A'')$.

Non so se mi sono spiegato bene.

Saluti