Trasporto parallelo

[giuly67]

Da non matematico e non fisico (ma chimico) credo di aver inteso questo. Il trasporto parallelo di un vettore V in uno spazio euclideo, lungo una generica curva, è esattamente quello che si intende comunemente per movimento parallelo. Se vi fossero due curve distinte, entrambi che iniziano da un punto comune A e terminano in un punto comune B, un vettore V in A che si trasportasse parallelamente in B, sarebbe orientato nello stesso modo indipendentemente dal percorso (curva) scelto, e comunque parallelo al vettore di origine. Se lo spazio è descritto in coordinate cartesiane (sempre possibile) questo si esprime dicendo che dVn/dxm=0 (perdonate ma, come nuovo iscritto, non so ancora fare a scrivere in simbologia appropriata). Ma se le coordinate scelte sono generiche lo stesso concetto lo si esprime con DmVn=0, dove alle derivate parziali di Vn rispetto a xm si aggiunge un termine addizionale (simbolo di Cristoffel) per tenere conto del sistema non ortogonale. Ma anche in un sistema di coordinate generico il risultato "visivo" è lo stesso, perché DmVn è un tensore. In quanto tale esso sarà nullo in tutti i sistemi di riferimento con cui desideriamo descrivere quello spazio, ed esprimerà sempre lo stesso concetto, e sarà sempre possibile riesprimere il tutto in un sistema cartesiano dove il concetto di trasporto parallelo è chiaro.
Per una superficie curva (la superficie di una sfera ad esempio) la faccenda è un pò diversa. Se in tale spazio, descritto da un generico sistema di coordinate, si definisce una curva che parte dal punto A fino a B, il trasporto parallelo di un vettore V da A a B può essere pensato a steps infinitesimi. Se iniziamo da A, nell'intorno di tale punto è possibile ritenere la geometria localmente euclidea. Questo consente di visualizzare il trasporto parallelo di V da A ad un punto sulla curva adiacente ad A, per uno spostamento infinitesimo entro il dominio euclideo di A, come movimento parallelo nel senso comune del termine. Di nuovo, si potrà muovere parallelamente il vettore V dalla posizione precedente (infinitesimamente prossima a A) ad un punto più avanzato, con medesimo artificio. Tuttavia, non sarà in generale vero che per due infinitesimi spostamenti il vettore è parallelo (nel senso comune del termine) al vettore iniziale. Due spostamenti infinitesimali sono descritti da derivate di secondo ordine. che a sua volta implicano derivate seconde del tensore metrico gmn. A differenza delle derivate prime di gmn, le derivate seconde sono certamente nulle per uno spazio euclideo, in qualsiasi sistema di coordinate, ma generalmente non nulle in un sistema non euclidea, in una superficie curva ad esempio. Questo è la base per distinguere uno spazio curvo da uno piatto, alla fine definendo il tensore di Riemann che appunto contiene derivate seconde del tensore metrico. Tornando al vettore V, per visualizzare il trasporto parallelo lungo una curva in uno spazio curvo, si può fare questo ragionamento. Si immagini di avere una superficie curva (2D) e definire una curva qualsiasi in tale superficie, su cui trasportare parallelamente V, dal punto iniziale A al punto finale B. Tale superficie e con essa la curva è anche descrivibile in 3D, dove la superficie è immersa. Tale spazio ipotizziamo sia euclideo. Ebbene, se trasportiamo parallelamente V, da A a B, lungo la curva definita, ma secondo lo spazio euclideo 3D, si dovrà immaginare un vettore muoversi parallelamente a sé stesso lungo la curva (con concetto di movimento parallelo come da senso comune), ma in riferimento alla superficie, potrebbe essere che esso "buca" la superficie o esce fuori dalla superficie: ci stiamo muovendo nello spazio 3D infatti, e non sulla superficie. Affinchè il vettore si muova parallelamente lungo la curva ma sulla superficie, il vettore è obbligato a ruotare, visto da un osservatore in 3D, per adeguarsi alla curvatura della superficie. Si potrebbe anche dire che il piano definito dal vettore V e dal vettore tangente alla curva (nel medesimo punto dove stiamo considerando V) deve essere un piano che si mantiene tangente alla superficie, questo sempre per V che si sta trasportando parallelamente lungo la curva sulla superficie.