esercizio sui rivestimenti universali

Messaggioda NRyoma » 01/08/2015, 10:44

Salve a tutti, sto cercando di risolvere questo problema:
Provare che $X={(x,y)\in \mathbb{R^2}: ((x-2)^2 + y^2 -1)*(x^2+y^2-1)=0 }$ ammette un rivestimento universale, e indicato con $(E,p)$ tale rivestimento, dimostrare che $E$ non può essere omeomorfo a $\mathbb{R}$

$X$ è rappresentato dal bouquet di due circonferenze. X è connesso, localmente connesso per archi e semilocalmente semplicemente connesso, pertanto esiste un unico rivestimento universale $p:E \to X$ con $E$ semplicemente conneso.
Sia $E$ che $\mathbb{R}$ sono semplicemente connessi. Come faccio a dimostrare che $E$ non può essere omeomorfo a $\mathbb{R}$ ?
Grazie
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Messaggioda j18eos » 01/08/2015, 14:23

Forse sbaglio (di brutto): chi è \(\pi_1(E)\)?
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Re: esercizio sui rivestimenti universali

Messaggioda NRyoma » 01/08/2015, 14:58

Dalla teoria so che se $X$ è connesso, localmente connesso per archi e semilocalmente semplicemente connesso esiste un unico rivestimento a meno di isomorfismi per $X$ dato da $(E,p)$ con $E$ semplicemente connesso. Giusto?
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Messaggioda j18eos » 01/08/2015, 16:29

Ecco, appunto che sbagliavo di brutto; per cui:
\[
\pi_1(E)=\{0\}=\pi_1(\mathbb{R})!
\]
Considera il punto di contatto \(\displaystyle x_0\) di questo bouquet di circonferenze \(\displaystyle X=\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\); detto \((E,p)\) il rivestimento universale di \(X\): qual è la cardinalità di \(p^{-1}(x_0)\)? Sai dire qualcosa sulle componenti connesse di \(E\setminus p^{-1}(x_0)\)?
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Re: esercizio sui rivestimenti universali

Messaggioda NRyoma » 01/08/2015, 17:30

la cardinalità della fibra $p^-1(x_0)$è il numero di fogli o grado del rivestimento; se il rivestimento è universale il grado del rivestimento è pari alla cardinalità di $\pi_1(X,x_0)$.
$\pi_1(X,x_0) \cong \pi_1(S^1 \vee S^1) \cong \mathbb{Z^2}$, quindi $p^-1(x_0)$ ha la stessa cardinalità del numerabile del numerabile
j18eos ha scritto:Sai dire qualcosa sulle componenti connesse di \( E\setminus p^{-1}(x_0) \)?

No :(
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Messaggioda j18eos » 01/08/2015, 20:30

Ok, però in questa maniera lo stesso non si va da nessuna parte; ma, si ottiene il sospetto che \(\displaystyle E\) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\) non siano omeomorfi, in quanto \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) eredita la topologia discreta da \(\displaystyle E\) e noi sappiamo che non tutti i sottoinsiemi numerabili di \(\displaystyle\mathbb{R}\) ereditano la topologia discreta.
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Messaggioda j18eos » 01/08/2015, 21:52

j18eos ha scritto:...si ottiene il sospetto che \(\displaystyle E\) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\) non siano omeomorfi, in quanto \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) eredita la topologia discreta da \(\displaystyle E\) e noi sappiamo che non tutti i sottoinsiemi numerabili di \(\displaystyle\mathbb{R}\) ereditano la topologia discreta.
Invece no!, questo basta per concludere. :-D
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Re: esercizio sui rivestimenti universali

Messaggioda NRyoma » 01/08/2015, 22:53

j18eos ha scritto: \( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) eredita la topologia discreta da \( \displaystyle E \)

Mi aiuti perfavore a convincermi di questo? Io so che:
se $X$ è uno spazio topologico e $\tau$ è la topologia discreta di $X$ e $(A,\tau_A)$ un sottospazio, allora $\tau_A$ cioè la topologia indotta da $\tau$ su $A$ coincide con la topologia discreta di $A$
$p^-1(x_0) \subset E$ ma su $E$ che topologia consideri?
j18eos ha scritto:e noi sappiamo che non tutti i sottoinsiemi numerabili di \( \displaystyle\mathbb{R} \) ereditano la topologia discreta.

Anche in questo caso su $\mathbb{R}$ quale topologia consideri? la topologia standard?
Ti ringrazio anticipatamente
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Messaggioda j18eos » 02/08/2015, 10:41

Scusami NRyoma, ma forse è meglio ricominciare dall'inizio che c'è un grosso errore che ho visto solo ora!

Sia \(\displaystyle X=\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\) il bouquet di due circonferenze; tu hai dimostrato che esiste il suo rivestimento universale \(\displaystyle(E,p)\), e che essendo quest'ultimo semplicemente connesso si ha che \(\displaystyle\pi_1(E)=\{0\}\).
Detto \(\displaystyle x_0\) il punto di contatto, tu hai giustamente affermato che \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è in biezione con \(\displaystyle\pi_1(X)\); ma chi è \(\displaystyle\pi_1(X)\)? Ti faccio notare che non può essere \(\displaystyle\mathbb{Z}^{\oplus2}\), poiché \(\displaystyle\pi_1(X)\) è un gruppo non abeliano!

Ancora, se usi la definizione di rivestimento, dimostri facilmente che \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) come sottospazio di \(\displaystyle E\) eredita la topologia discreta; poi:
NRyoma ha scritto:...ma su $ E $ che topologia consideri?...
Anche in questo caso su $ \mathbb{R} $ quale topologia consideri? la topologia standard?...
devi essere tu a dirmi in che topologia hai lavorato su \(\displaystyle X\), e che topologia usi su \(\displaystyle\mathbb{R}\).
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Re: esercizio sui rivestimenti universali

Messaggioda NRyoma » 02/08/2015, 15:59

j18eos ha scritto:ma chi è \( \displaystyle\pi_1(X) \)? Ti faccio notare che non può essere \( \displaystyle\mathbb{Z}^{\oplus2} \), poiché \( \displaystyle\pi_1(X) \) è un gruppo non abeliano!

Sì, hai ragione $\pi_1(X) \cong \mathbb{Z}*\mathbb{Z}$ cioè il gruppo libero su due generatori. Giusto?
j18eos ha scritto:se usi la definizione di rivestimento, dimostri facilmente che \( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) come sottospazio di \( \displaystyle E \) eredita la topologia discreta;

Sia $x \in X$, $U$ un aperto ricoperto equamente contenente x e $e \in p^-1(x)$ allora $p^-1(x) \subset p^-1(U)=\bigcup_(j\in J) V_j$ quindi $\exists$ un unico $j_e \in J$ t.c. $e \in V_(j_e)$ quindi $p^-1(x) \cap V_(j_e)={e}$ e se $e' \in V_(j_e) \cap p^-1(x)$ per l'iniettività di $p_(|V_(j_e))$ si ha che $e'=e$. Per ogni $e \in p^-1(x)$ si ha che ${e}$ è un aperto in $p^-1(x)$ Gusto?
In conclusione, come hai detto tu, $p^-1(x)$ eredita da $E$ la topologia discreta mentre non tutti i sottoinsiemi numerabili di $\mathbb{R}$ ereditano la topologia discreta e questo basta per concludere.
Grazie
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