come si definisce l'angolo tra due vettori complessi?

[jitter]

Ho provato a cercare un po' in rete ma non ho trovato.



Se il coseno tra due vettori complessi b e c si definisse allo stesso modo che in R, succederebbe questo:

$|b| = |c| cos\theta$

Supponiamo $b = (4, 3)$ e $c=(3i, 4)$

Allora $5 = 5 cos\theta$

Supponendo valida la definizione del coseno come in R: $cos\theta = (<(4, 3),(3i, 4)>)/25 = (12i + 12)/25$

$5 = 5 (12i + 12)/25$ ops

[alessandro8]

Ciao.

Premetto che non sono più "dentro" queste argomentazioni da molti anni, ma ricordo che quando si ha a che fare con spazi vettoriali sul campo $CC$, il prodotto (a valori nel campo) tra due vettori non è più il prodotto scalare usuale (o standard); in questi casi si prende in considerazione il cosiddetto prodotto hermitiano.

Saluti.

[jitter]

Ciao Alessandro,
è vero, il prodotto hermitiano... ipotizziamo allora che la definizione del coseno (oh, non la trovo: ma non è che non ha senso?) sia così:

$ cos\theta = (b^H c )/(|b|*|c|)$ = $ ((3,4)(3i,4))/25$

In questo caso $(3, 4)$ ha componenti reali, quindi alla fine è come fare il prodotto scalare "normale"...

p.s. In realtà questo fatto del coseno fra vettori complessi mi serve perché ieri (in un altro thread) avevo provato a usare il procedimento di Gram-Schmidt in una forma che mi fosse più famigliare, o più facilmente memorizzabile. Per i vettori reali mi pare funzioni (almeno come conti, a livello teorico, infatti, chiedevo), ma per i vettori complessi mi servirebbe quella def.

[jitter]

La definizione l'ho trovata. E' come dici tu:

"Siano V uno spazio vettoriale euclideo e $||*||$ la norma indotta dal prodotto interno *. Allora si pone:

$cos\theta = v*w/(||w|| ||v||) $.

L'errore che avevo fatto credo sia qui, all'inizio:

$ |b| = |c| cos\theta $

Qui non potevo usare la trigonometria perché i miei vettori sono complessi, quindi qui ho applicato erroneamente il coseno, trattandolo come se fosse il coseno di vettori reali.

[alessandro8]

Bene.

Tutto a posto, allora.

Saluti.