esercizio sui rivestimenti universali

[j18eos]

...Gusto?
In conclusione, come hai detto tu, $ p^-1(x) $ eredita da $ E $ la topologia discreta mentre non tutti i sottoinsiemi numerabili di $ \mathbb{R} $ ereditano la topologia discreta e questo basta per concludere...

Sì; però la cardinalità del gruppo libero di rango \(\displaystyle2\), denominato \(\displaystyle F(2)\), non è quella del finito numerabile!
E se anche fosse numerabile, mica resterebbe dimostrato che tutti i sottoinsiemi numerabili di \(\displaystyle E\) ereditano la topologia discreta?

Per calcolare la cardinalità di \(\displaystyle F(2)\), tieni presente che esso è equipotente all'insieme \(\displaystyle\{a,a^{-1},b,b^{-1}\}^{(\mathbb{N})}\): capisci la simbologia?

EDIT: Invece no: \(\displaystyle F(2)\) è infinito numerabile!

[NRyoma]

Per calcolare la cardinalità di \( \displaystyle F(2) \), tieni presente che esso è equipotente all'insieme \( \displaystyle\{a,a^{-1},b,b^{-1}\}^{(\mathbb{N})} \): capisci la simbologia?

No, mi sa che per me le cose si sono complicate

[j18eos]

Con \(\displaystyle\{a,a^{-1},b,b^{-1}\}^{(\mathbb{N})}\) intendo l'insieme delle successioni finite dei simboli \(\displaystyle a,a^{-1},b,b^{-1},\) ove \(\displaystyle a\) e \(\displaystyle b\) sono i generatori di \(\displaystyle F(2)\); si dimostra facilmente che questo insieme è equipotente ad \(\displaystyle F(2)\), e che entrambi hanno la potenza del continuo.

A questo punto, il tuo problema si riduce a dimostrare che \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale e con la topologia discreta, sono spazi topologici non omeomorfi!

Per la precisione: se \(\displaystyle E\) fosse omeomorfo a \(\displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat})\), allora \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è un insieme infinito continuo dotato della topologia discreta, ed a meno di omeomorfismi è un sottoinsieme di \(\displaystyle\mathbb{R}\); quale proprietà topologica di \(\displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat})\) non viene ereditata da \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) ottenendo così una contraddizione?

Ti instrado: separatezza alla Hausdorff, separabilità, connessione o compattezza?

Edit: Corretto un typo: \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è un insieme infinito continuo e non infinito numerabile!

[NRyoma]

A questo punto, il tuo problema si riduce a dimostrare che \( \displaystyle\mathbb{R} \) con la topologia naturale e con la topologia discreta, sono spazi topologici non omeomorfi!

Perchè? Non dobbiamo dimostrare che \( \displaystyle\mathbb{R} \) non è omeomorfo a $E$?

Per la precisione: se \( \displaystyle E \) fosse omeomorfo a \( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \), allora \( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) è un insieme infinito numerabile dotato della topologia discreta, ed a meno di omeomorfismi è un sottoinsieme di \( \displaystyle\mathbb{R} \)

OK, questo è chiaro.

quale proprietà topologica di \( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \) non viene ereditata da \( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) ottenendo così una contraddizione?

Ti instrado: separatezza alla Hausdorff, separabilità, connessione o compattezza?

Non so rispondere. Penso che non sia la compattezza perché \( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \) non è compatto, per quanto riguarda la connessione penso che $p^-1(x_0)$ sia connesso; forse è la separabilità?
Grazie

[j18eos]

...Perchè? Non dobbiamo dimostrare che \( \displaystyle\mathbb{R} \) non è omeomorfo a $E$?...

Scusa, ma mi sono spiegato meglio così!

...Per la precisione: se \( \displaystyle E \) fosse omeomorfo a \( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \), allora \( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) è un insieme infinito continuo dotato della topologia discreta, ed a meno di omeomorfismi è un sottoinsieme di \( \displaystyle\mathbb{R} \); quale proprietà topologica di \( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \) non viene ereditata da \( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) ottenendo così una contraddizione?...

Per la precisione, a meno di omeomorfismi (tra \(\displaystyle E\) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale), hai trovato un sottoinsieme di \(\displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat})\) infinito continuo, la cui topologia di sottospazio è la topologia discreta; cosa c'è che non va?

Ti ho indicato quattro proprietà topologiche; due sono ereditate dai sottospazi e le altre due no; ragiona meglio: \(\displaystyle\mathbb{R}\) non è compatto con la topologia naturale, e con quella discreta? Perché \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è connesso?, e quest'ultima proprietà ci fornisce una contraddizione?

[NRyoma]

\( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \)

hai trovato un sottoinsieme di \( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \) infinito continuo, la cui topologia di sottospazio è la topologia discreta; cosa c'è che non va?

No, credo non esista. $\mathbb{Z}$ eredita la topologia discreta mentre per esempio $\mathbb{Q}$ no.

Ti ho indicato quattro proprietà topologiche; due sono ereditate dai sottospazi e le altre due no; ragiona meglio: \( \displaystyle\mathbb{R} \) non è compatto con la topologia naturale, e con quella discreta?

Anche con quella discerta non è compatto

Perché \( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) è connesso?, e quest'ultima proprietà ci fornisce una contraddizione?

$p^-1(x_0)$ non è connesso perché essendo uno spazio discreto è totalmente disconesso. Quindi le proprietà che non vengono ereditate sono la compatezza e la connessione
E' Sbagliato? Grazie

[j18eos]

Guarda che \(\displaystyle\mathbb{Z}\) è infinito numerabile e non continuo.

Quali altre proprietà non hai studiato?, così da concludere!?

[NRyoma]

Guarda che \( \displaystyle\mathbb{Z} \) è infinito numerabile e non continuo.

Sì, questo è chiaro. Ho voluto solo scrivere un esempio di sottoinsieme di $\mathbb{R}$ che eredita la topologia dicreta.

Quali altre proprietà non hai studiato?, così da concludere!?

Quindi non sono la connessione e la compattezza che non vengono ereditate? Non lo so, come si deve concludere?

[j18eos]

Delle quattro suggerite, restano la separatezza alla Hausdorff e la separabilità!

Entrambe sono ereditate dallo spazio ambiente a tutti i sottospazi?

[NRyoma]

$p^-1(x_0)$ è un sottospazio discreto non numerabile, quindi non è separabile.
Per la separatezza alla Hausdorff non lo so.