esercizio sui rivestimenti universali

[j18eos]

Bene; in generale se \(\displaystyle X\) è uno spazio topologico separabile, allora ogni suo sottospazio \(\displaystyle Y\) (con la topologia indotta) è separabile?

[NRyoma]

No, in genere $Y$ può non essere separabile

[j18eos]

Invece sì! EDIT: Invece no!

Sappiamo che \(\displaystyle x_0\) è un punto chiuso, perché la topologia soddisfa la separabilità alla Hausdorff, per continuità \(\displaystyle p^{-1}(x_0)=Y\) è un insieme chiuso con topologia discreta (a meno di omeomorfismi) di \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale.
Essendo:
\[
\mathbb{R}=\overline{\mathbb{Q}}\Rightarrow Y=\dots=\overline{Y}\cap\overline{\mathbb{Q}}=\overline{Y\cap\mathbb{Q}}=\overline{Z}
\]
quindi \(\displaystyle Z\) è un insieme al più numerabile e denso in \(\displaystyle Y\), ottieni una contraddizione.

A me l'esercizio è piaciuto!, ed a te?

[NRyoma]

Per quello che mi ha fatto passare direi di no. Ti ringrazio per l'aiuto

[j18eos]

...a questo punto di confesso due peccati senza possibilità di emendarli:

1. non mi piace la topologia algebrica;
2. per quanto riguarda le omotopìe, il gruppo fondamentale e i rivestimenti: sono auto didatta!

Praticamente, queste cose le uso nei limiti che mi servono in geometria algebrica...

[Martino]

\( \displaystyle \overline{Y}\cap\overline{\mathbb{Q}}=\overline{Y\cap\mathbb{Q}} \)

Questa uguaglianza mi convince poco, per esempio è chiaramente falsa se \( \displaystyle Y \) è disgiunto da \( \displaystyle \mathbb{Q} \) . Ok nel caso in esame $Y$ è non numerabile e chiuso quindi probabilmente è vero, ma bisogna dimostrarlo. [Edit: no non è vera nemmeno in questo caso, per esempio si può prendere \( \displaystyle Y = [0,1] \cup \{\pi\} \) .]

Una cosa: avete mostrato che $Y$ è un sottospazio non numerabile e discreto di $E$. Questo basta per concludere perché si vede facilmente che i sottospazi discreti di $\mathbb{R}$ sono al più numerabili.

PS. Non so se ho capito bene la conversazione ma la separabilità non è ereditaria, come aveva mostrato Armando qui (piano di Sorgenfrey e la sua antidiagonale).

[j18eos]

Ho controllato, e ha ragione Martino:

1. la separabilità non è una proprietà topologica ereditaria, eccetto per i casi dei sottospazi aperti e degli spazi metrici;
2. l'eguaglianza corretta è:
   \[
   A,B\subseteq X,\,\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B};
   \]
   con \(\displaystyle X\) spazio topologico qualunque;
3. correggendo il finale: sempre a meno di omeomorfismi e utilizzando le stesse notazione, \(\displaystyle Y\) sarebbe un sottospazio di uno spazio metrico separabile, per cui dev'essere separabile, e ciò porta all'assurdo.

Il punto 3 non lo saprei dire più semplice di così; inoltre, dato che sto qui a scrivere, si può ripetere tutto il ragionamento a partire da un generico punto di \(\displaystyle\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\).

[j18eos]

Ho trovato un altro errore \(\displaystyle F(2)\) ha cardinalità dell'infinito numerabile, in quanto \(\displaystyle\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}^{(\mathbb{N})}\) è un insieme infinito numerabile¹! -_-
Quindi resta il fatto che, senza cambiare i nomi, \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è un insieme numerabile, con la topologia discreta; e ciò non basta per concludere!

Cercando ho trovato una costruzione esplicita di del rivestimento universale \(\displaystyle E\) di \(\displaystyle\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\): la si trova nel capitolo 1, sezione 3 del libro di Hatcher!
In breve: se tu togli un punto da \(\displaystyle E\), esso si sconnette in quattro pezzi, mentre \(\displaystyle\mathbb{R}\) si sconnette in due pezzi, e ciò basta per concludere.

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Note

1. Invece, \(\displaystyle\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}^{\mathbb{N}}\) è infinito continuo. ↑

[j18eos]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Se la benzina non costasse così tanto: mi bagnerei dalla testa ai piedi, e mi darei fuoco da solo!

Siano \(\displaystyle x_0\in X=\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\) il punto di contatto delle due copie di \(\displaystyle\mathbb{S}^1\) ed \(\displaystyle(E,p)\) il rivestimento universale di \(\displaystyle X\); per definizione esiste un intorno aperto \(\displaystyle U\) di \(\displaystyle x_0\) tale che \(\displaystyle V=p^{-1}(U)\) sia l'unione disgiunta di insiemi aperti connessi \(\displaystyle V_i\), ognuno dei quali omeomorfo a \(\displaystyle U\) mediante \(\displaystyle p\).

Essendo intuitivamente \(\displaystyle U\subsetneqq X\), si ha che \(\displaystyle U\setminus\{x_0\}\) è tagliato in quattro componenti connesse, quindi anche ciascuno dei \(\displaystyle V_i\setminus p^{-1}(x_0)\) è tagliato in quattro componenti connesse; se fosse \(\displaystyle E\) omeomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{R}\) (con la topologia naturale) allora i \(\displaystyle V_i\) dovrebbero essere intervalli aperti, ma un punto taglia un intervallo aperto in due intervalli aperti, quindi tale omeomorfismo non può esistere!

[killing_buddha]

non mi piace la topologia algebrica

You're a pervert, repent.