Ha ragione j18eos, addirittura è importante solo che il dominio sia \({\rm N}_1\), per il codominio non servono ipotesi particolari (se non quella di essere spazio topologico). Mi scuso per l'imprecisione, non sarei dovuto andare a memoria.
Per la necessità non servono ipotesi particolari né sul dominio né sul codominio (se non quella di essere spazi topologici).
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Una successione convergente (anche senza l'unicità del limite) è una funzione continua \(\widetilde{\mathbb{N}} \to E\), se \(f\) è continua si ha che la composizione \[\widetilde{\mathbb{N}} \to E \to F\] è continua, ovvero la successione delle immagini è convergente.
Che il dominio sia \({\rm N}_1\) è indispensabile per portare avanti la dimostrazione della sufficienza.
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Supponiamo che \(f\) non sia continua in \(\xi\). Allora esiste un intorno \(V\) di \(f(\xi)\) tale che per ogni intorno \(U\) di \(\xi\) si abbia \(f(U) \not\subset V\). Consideriamo \((U_n)\) sistema fondamentale di intorni di \(\xi\) indicizzato (in maniera monotona rispetto all'inclusione) coi naturali. In ciascuno di quegli intorni si può trovare un punto \(x_n\) tale che \(f(x_n) \not\in V\). Così facendo abbiamo ottenuto una successione che converge a \(\xi\) senza che le immagini convergano a \(f(\xi)\).
Inviato: 01/09/2014, 10:32