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Oggi all'esame c'era questo esercizio:
Si dica se l'insieme $W=((r+s, r+t),(-r-s, 0)) | r,s,t in R$ è un sottospazio dell'insieme $Mat_2,_2(R)$ delle matrici 2x2 a coefficienti in $R$ e in caso affermativo si determini la dimensione di W.
Ho verificato che si tratta effettivamente di un sottospazio, ma non mi sono ricordata come calcolarne la dimensione.
Mi sapete aiutare?
Grazie.

Considera che $ -r-s=-(r+s) $ quindi ...

Quindi la risposta è 2?
Però mi interessa capire il ragionamento sottostante.
Grazie.

Sì è 2 perché ci sono solo due variabili indipendenti . Se chiamo $a=r+s ; b=r+t $ e sono 2 variabili indipendenti tra loro ok ? mentre $-r-s=-a $ e quindi la matrice si può riscrivere $((a,b),(-a,0))$
Ci sono solo 2 variabili indipenmdenti che sono $a,b $ e quindi la dim=2

Ok. Ma qual è la relazione fra le variabili indipendenti e la dimensione del sottospazio?

Numero variabili indipendenti = dimensione del sottospazio

Sì questo era chiaro, ma sapresti dirmi perché è così?

Perché al variare di quei parametri hai il sottospazio. Le variabili dipendenti, appunto "dipendendo" da quei parametri, (che generalmente chiamiamo s, o t, quindi sono già assegnate.

Supponendo che uno non si accorgeva di questa cosa, o non era così semplice vederlo "a occhio", i conti da fare come erano?
Io so che la dimensione è il numero di elementi della base, e la base è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio, per cui immagino ci si riconduca semre a risolvere un sistema lineare omogeneo, giusto? Ma in questo caso come andava impostato?
Grazie!

A proposito di basi per il sottospazio $W$ -visto che sono infinite - ne propongo due ,
* una la più "spontanea " $[((1,0),(-1,0)) ; ((0,1),(0,0))] $
* e una più "elaborata " $[((325,0),(-325,0)) ;((0,-732),(0,0))]$

Scelgo ora a caso un elemento di $W$ ad esempio $((3,5),(-3,0))$.
Se tutto quanto detto e fatto sopra è corretto devo poter trovare univocamente due coefficienti $alpha,beta $ tali che :
$alpha *((325,0),(-35,0)) +beta*(( 0,-732),(0,0)) =((3,5),(-3,0))$
In quanto ho scelto una base del sottospazio , ne ho combinato linearmente gli elementi per ottenere un vettore qualunque del sottospazio.
Per trovare $alpha, beta $ basta risolvere il sistemino :
$325 alpha= 3$
$-732beta=5$
$-325 alpha= -3 $ da cui :
$alpha= 3/325 ; beta = -5/732$