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Ciao! Ho un problema relativo a un esercizio di topologia riguardante la connessione e la compattezza.


Dati due insiemi Q={x^2 - 2xz + 3y^2 + z^2 +2x +y - z -1=0} e C={z^2+3y^2+3z+y-1=0}
Si munisca R3 della topologia euclidea,Q e C della topologia indotta da R3
si stabilisca se Q e C sono connessi e compatti. Nel caso non siano connessi se ne determinino le componenti connesse, nel caso non siano compatti se ne determini una compattificazione.

Grazie

Idee tue? Insomma dove ti fermi?

Mi sono fermata alla compattificazione cioè:
C ellisse non degenere è omeomorfa a una circonferenza che quindi è connessa e compatta mentre Q è un paraboloide ellittico omeomorfo a R2 quindi connesso ma non compatto
mi sono fermata alla compattificazione di Q

Hai costruito materialmente gli omeomorfismi? Lo dico perché potrebbero chiedertelo. Comunque il tuo metodo è corretto.

Riguardo alla compattificazione, \(C\) è compatto e quindi non hai nulla da fare. Riguardo a \(Q\), qual'è la compattificazione di Alexandrov di \(\mathbb{R}^2\)?

Una compattificazione di R2 è S2 o almeno così credo e dato che non ne sono certa chiedo conferma.
Per quanto riguarda gli omeomorfismi non li ho costruti ma li ho presi per buoni da appunti. Materialmente come si potrebbero costruire?
Grazie

Per il paraboloide lo trasformi in forma normale (con una successione di funzioni affini). Dopo di che lo proietti sul piano \(x0y\). La sua compattificazione è \(S^2\), agli analisti piace chiamarla sfera di Riemann.

Riguardo a quello che tu chiami ellisse mi sono reso conto che non è un ellisse, ma è un cilindro a base ellittica. Essendo omeomorfo a \(S^1\times \mathbb{R}\) è connesso, ma ovviamente non compatto. La sua compattificazione di Alexandrov dovrebbe essere il toro con una circonferenza ridotta ad un punto. Immagino che il toro stesso sia una sua compattificazione (non saprei direi in base a che teoria però).

Grazie tante