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Buon pomeriggio ragazzi, stavo svolgendo il seguente esercizio:

Sia$ f : R^2 → R^3$ l’applicazione lineare definita, rispetto le basi canoniche, dall’equazione $f (x, y) = (x + 2y, 2x, 3x + y)$ Determinare
$ Ker f , Imf ,$ le loro eventuali basi ed equazioni;

Questo è il mio procedimento:

Matrice associata:
$ A=( ( 1 , 2 ),( 2 , 0 ),( 3 , 1 ) )rarr ( ( 1 , 2 ),( 2 , 0 ),( 5 , 0 ) ) $ quest'ultima matrice ha $r(a)=2$
$Dim Imf=3, Dim Kerf = 1$
per trovare l'equazione e le basi metto a sistema la matrice $A$:

$ { ( x+2y=0 ),( 2x=0 ),( 5x=0 ):} $ Da qui avremo che $x=y=0$. È corretto? Perché non sono molto convinto.. anche perché non sarei capace a scrivere l'eventuale base.

Spero di essere stato chiaro..Buona giornata a tutti

Non capisco come calcoli il rango comunque è due, lo si vede facilemente perché le colonne di A sono linearmente indipendenti. L'immagine non potrà mai essere 3 perché hai che, data $A$ matrice associata alla tua applicazione lineare, la dimensione dell'immagine è il numero di colonne linearmente indipendenti di $A$ (il rango). Perciò $dim Imf = 2$ il $ker f$ ha allora dimensione 0, infatti deve essere $ dim Imf + dim Ker f = dim R^2 = 2 $
La base del $ker$ quindi non esiste dato che questo è il solo vettore nullo, mentre per l'immagine basta prendere come base le colonne linearmente indipendenti di $A$.

Quindi la $dim Imf$ equivale sempre al rango della matrice? Perché ho letto pure che equivale al numero di righe non nulle della matrice associata. . .

adesso ho capito..Grazie