Matematicamente.it

Caro newotn_1372, scusa la brutalità: pensa alla meccanica hamiltoniana per come ti è stata spiegata\impostata;

quando potrai\vorrai seguire un primo corso di geometria differenziale fatto per bene, capirai una parte di quanto scritto; la geometria riemanniana non è elementare come argomento...

EDIT Sono sicuro che studiando il principio di minima azione, incontrerai alcuni dei precedenti concetti. Sappi attendere!

j18eos ha scritto:@apatriarca Come ho scritto nel mio secondo intervento, non conosco questo teorema; e quando newton_1372 ha messo un link alla dimostrazione: non ho potuto leggerla per sovvenuti impegni.

Venendo alle metriche riemanniane: non è vero che in generale si usano sole metriche piatte; se non erro, in meccanica relativistica la metrica non è (sempre) piatta.

Poco prima del tuo post avevo inserito una prima parte della dimostrazione che non sono riuscito a finire perché sono troppo occupato con il lavoro. Nella dimostrazione avevo già parlato di come generalizzare il discorso sul rotore in questo caso. È a questo che mi riferivo nel mio post.

Mi sono spiegato male comunque riguardo alle metriche. Quello che intendevo dire è che nelle dispense del professore e nella dimostrazione si è calcolato il rotore della forma differenziale come vettore di \(\mathbb R^3\) ignorando totalmente la natura di forma differenziale e problematiche legate alla metrica. Ovviamente non stavo dicendo che le metriche sono inutili o che non ci siano situazioni in fisica in cui si faccia uso di metriche non piatte. In effetti è assolutamente vero il contrario. Qualsiasi sistema fisico può in effetti essere modellato come un opportuno spazio (semi-)Riemanniano e lo studio di tale metrica può fornire molte informazioni su questo sistema.

Comunque in questi giorni cercherò di ripercorrere la dimostrazione di "apatriarca". Se non saprò come proseguire, faccio sapere.

Inizio con un OT pubblico: la settimana è finita in pace, ma non vado ancora... in pace

@apatriarca Forse non ci siamo capiti, o (sicuramente) mi sono espresso male. Ripeto ancora una volta che non ho potuto leggere la dimostrazione e studiarla per dare una mano, per cui mi sono limitato a spiegare a newton_1372 come generalizzare certi concetti, dopo sua richiesta; senza sapere (a mia colpa) che newton_1372 non conosce la geometria riemanniana.

Per quanto riguarda metriche e meccanica: stavo rispondendo a newton_1372.

In chiusura:

@newton1372 caro: non perdere la curiosità verso la geometria differenziale.

Io sono newton_1372 non newton_1243! Tra parentesi, 1372 è il mio peso in newton, quindi non sbagliamo quel numero please!
Per il resto, non solo non mi passerà la curiosità verso la geometria differenziale, ma è assolutamente la mia materia preferita di quelle che sto seguendo questo semestre! (Insieme a relatività e fisica 2).
Solo che io speravo che mi insegnassero a integrare e derivare su "cosi curvi e strani"...e invece le prime 2 settimane "spazi topologici di hausdorff, metrizzabili o non metrizzabili topologia e topologia e topologia...penso che stia un pò andando nell'astratto il prof...
Comunque dice che non farà geometria riemanniana ma quello che ci farà è un caso particolare. Boh. Io so che a Reltività generale Einstein usa la metrica riemanniana....
Speriamo...

newton_1372 ha scritto:Io sono newton_1372 non newton_1243! Tra parentesi, 1372 è il mio peso in newton, quindi non sbagliamo quel numero please!...

Vabbè, t'ho fatto dimagrire, dai!

newton_1372 ha scritto:...Comunque [il prof. (NdR.)] dice che non farà geometria riemanniana...

Ovviamente!

Andrà "in grande": cioè spiegherà una geometria di cui la Riemanniana è un caso particolare. Io però spero di poter leggere l'articolo di einstein sulla relatività generale e capirne il linguaggio matematico...(e anche quel pdf). E ripeto, voglio imparare a calcolare energie e flussi, integrare e derivare su "spazi strani" aventi come unica proprietà quelli di essere localmente euclidei...e poi voglio sapere che diamine sono oggetti tipo tensori di curvatura di Ricci and so on..

Per queste cose a me piace moltissimo il libro di Wald, quello con in copertina la mela col tavolo poggiato sopra. Però ti consiglio di aderire al tuo corso.

E' sbagliato dire che la Meccanica Hamiltoniana "vive" in $R^{2N}$? Lo spazio delle fasi non è euclideo? La formulazione in $R^{2N}$ è sbagliata/incompleta?

newton_1372 ha scritto:E' sbagliato dire che la Meccanica Hamiltoniana "vive" in $R^{2N}$?...

No, se con \(\displaystyle N\) intendi il grado di libertà del sistema meccanico che stai studiando.

newton_1372 ha scritto:...Lo spazio delle fasi non è euclideo?...

Non ricordo, ma direi in genere no!

newton_1372 ha scritto:...La formulazione in $R^{2N}$ è sbagliata/incompleta?

Quale formulazione? Che intendi?