Continuità con il concetto di Aderenza
Inviato: 26/03/2015, 01:01
Salve a tutti. Devo provare questa faccenda:
$f:[0,1] \rightarrow [0,1]$
così definita: $$f(x)=\begin{cases} x & \mbox{se }x\in [0,1]\cap \mathbb{Q} \\ 0 & \mbox{se }x\in (\mathbb{R}-\mathbb{Q})\cap [0,1],
\end{cases}$$
è continua solo nel punto $0$.
Per provare questo voglio utilizzare la seguente cosa:
"Siano $X$ ed $Y$ due spazi topologici. Una applicazione $f:X\rightarrow Y$ è continua se, $\forall A\subseteq X$ e $\forall x\in X$ aderente ad $A$, il punto $f(x)$ è aderente ad $f(A)$".
Chiaramente $0$ è aderente ad ogni sottoinsieme del tipo $(0,b]$ con $b \leq 1$, perciò $f(0)=0$ è aderente ad $f((a,b])=(\mathbb{Q}\cap(0,b])\cup{0}=[0,b]\cap\mathbb{Q}$ perchè $0$ sta nella chiusura di $(0,b]$.(Non so se può valere come caso puntuale della prop. sopra...)
Ora prendo un punto $p\ne 0$ in $[0,1]$.
Se prendo (per esempio) l'intervallo $A:=(p,1]$, allora $p$ è aderente ad $A$, ma voglio far vedere che $f(p)$ non è aderente a $f(A)={0}\cup((p,1]\cap \mathbb{Q})$. Quest ultimo passaggio dimostrerebbe la tesi con la prop. di cui sopra. Il problema è che quello che ho fatto (tutto) mi puzza un pò, perchè con questo ragionamento mi viene che $f(p)$ sta nella chiusura di $f(A)$, anzi, sta proprio in $f(A)$ per tutti i $p$ irrazionali. C'è qualcosa che non mi torna. Qualcuno può aiutarmi? Dove sbaglio?
$f:[0,1] \rightarrow [0,1]$
così definita: $$f(x)=\begin{cases} x & \mbox{se }x\in [0,1]\cap \mathbb{Q} \\ 0 & \mbox{se }x\in (\mathbb{R}-\mathbb{Q})\cap [0,1],
\end{cases}$$
è continua solo nel punto $0$.
Per provare questo voglio utilizzare la seguente cosa:
"Siano $X$ ed $Y$ due spazi topologici. Una applicazione $f:X\rightarrow Y$ è continua se, $\forall A\subseteq X$ e $\forall x\in X$ aderente ad $A$, il punto $f(x)$ è aderente ad $f(A)$".
Chiaramente $0$ è aderente ad ogni sottoinsieme del tipo $(0,b]$ con $b \leq 1$, perciò $f(0)=0$ è aderente ad $f((a,b])=(\mathbb{Q}\cap(0,b])\cup{0}=[0,b]\cap\mathbb{Q}$ perchè $0$ sta nella chiusura di $(0,b]$.(Non so se può valere come caso puntuale della prop. sopra...)
Ora prendo un punto $p\ne 0$ in $[0,1]$.
Se prendo (per esempio) l'intervallo $A:=(p,1]$, allora $p$ è aderente ad $A$, ma voglio far vedere che $f(p)$ non è aderente a $f(A)={0}\cup((p,1]\cap \mathbb{Q})$. Quest ultimo passaggio dimostrerebbe la tesi con la prop. di cui sopra. Il problema è che quello che ho fatto (tutto) mi puzza un pò, perchè con questo ragionamento mi viene che $f(p)$ sta nella chiusura di $f(A)$, anzi, sta proprio in $f(A)$ per tutti i $p$ irrazionali. C'è qualcosa che non mi torna. Qualcuno può aiutarmi? Dove sbaglio?