Topologia di sottospazio e operatori

Messaggioda dissonance » 08/10/2008, 18:17

Dati $S\subX$, $X$ spazio topologico, $S$ un sottospazio, e un sottoinsieme $W$ di $S$ secondo voi è vero che

la frontiera di $W$ come sottoinsieme di $S$ coincide con la frontiera di $W$ come sottoinsieme di $X$ intersecata con $S$?

[edit] titolo modificato: era "topologia di sottospazio e frontiera".
Ultima modifica di dissonance il 08/10/2008, 19:55, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda rubik » 08/10/2008, 18:48

un punto p appartiene alla frontiera di un insieme $X$ se ogni intorno aperto $U$ di p non è contenuto in X nè nel suo complementare.
Bisogna subito osservare che $X$ ha "più" punti di $S$ potrebbero esserci punti della frontiera di $W$ che non sono contenuti in $S$ e quindi in quel caso la risposta è semplice. Ci si può chiedere se i punti della frontiera di $W$ visto come sottoinsieme di $X$ che sono contenuti in $S$ restano nella frontiera se $W$ è visto in $S$.

detto questo se consideri $S$ con la topologia di sottospazio:

sia p nella frontiera di $W$ nella topologia di $S$. Prendo $U$ intorno aperto di p in $X$, $UnnS$ è aperto in $S$ e quindi contiene punti di $W$ e punti non di $W$ la stessa cosa deve valere per $U$.

mi pare che il viceversa in generale non vale: prendi l'intervallo $S=[0,1]$ sottoinsieme della retta reale, il sottoinsieme $[1/2,1]$ in $RR$ ha frontiera ${1/2,1}$ mentre in $S$ ha frontiera ${1/2}$ nonostante 1 sia contenuto in $S$

nel caso in cui $S$ è aperto in $X$: sia p nella frontiera di $WnnS$ nella topologia di $X$, sia $U$ un intorno di p nella topologia di S allora $U=SnnV$ con $V$ aperto in $X$ essendo $S$ aperto in $X$ anche $U$ è aperto in $X$ quindi $U$ contiene punti di $W$ e punti che non stanno in $W$ e quindi p è nella frontiera anche in $S$.

spero di non aver toppato e di esser stato chiaro :-D
fammi sapere
rubik
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Messaggioda dissonance » 08/10/2008, 19:18

Sì sì sei chiarissimo, e hai ragione.
Per dirla a parole:
come l'ho messa io la cosa non è vera, controesempio: $[1/2, 1]\sub [0,1]$ ha come frontiera ${1/2}$,
$[1/2, 1]\subRR$ ha come frontiera ${1/2, 1}$. Se fosse vero quello che dico io la prima frontiera dovrebbe essere ${1/2, 1}$.

Però se il sottospazio $S$ è un aperto di $X$, e quindi se tutti gli aperti di $S$ sono aperti pure di $X$, allora la cosa diventa vera, fondamentalmente perché possiamo limitarci a considerare intorni contenuti in $S$.

Visto che abbiamo rotto il ghiaccio, scrivo un poco di altre domande su questo argomento. Sto cercando di scrivere uno specchietto di proprietà di interno, frontiera, chiusura, derivato nel passaggio alla topologia di sottospazio. Una è questa che hai dimostrato qui. Per la chiusura il problema è facile: la chiusura di $W$ come sottoinsieme del sottospazio $S$ è l'intersezione della chiusura di $W$ come sottoinsieme di $X$ e di $S$. (Cioé $barW^S=barW^XnnS$). E per interno e derivato che cosa possiamo dire?
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Messaggioda rubik » 09/10/2008, 10:24

innanzitutto volevo sottolineare che anche nel caso in cui $S$ è aperto la "regola" è come per la chiusura la frontiera in $S$ di un insieme è la frontiera in $X$ intersecata con $S$, credo fosse chiaro ma meglio specificare :-D

Per la parte interna succede la cosa inversa a quella della frontiera, sempre i punti della parte interna di $W$ nella topologia di $X$ sono anche nella parte interna nella topologia di $S$: se p è nella parte interna vista in $X$ esiste $U$ intorno aperto di p interamente contenuto in $W$, $UnnS$ è un aperto in $S$ interamente contenuto in $W$ e quindi p è nella parte interna anche se $W$ è visto in $S$

il viceversa non vale e si può usare lo stesso esempio di sopra: la parte interna di $W=[1/2,1]$ in $[0,1]$ è $(1/2,1]$ e ${1}$ non è nella parte interna di $W$ visto in $RR$

se $S$ è aperto non l'ho svolto però credo valga una cosa analoga alla frontiera in quanto gli aperti in $S$ sono anche aperti in $X$.

per il derivato, ho dovuto vedere la definizione :roll:

sia p è punto di accumulazione per $W$ in $S$ prendo $U$ intorno aperto di p in $X$ allora $UnnS$ è aperto in $S$ e contiene almeno un punto di $S$ diverso da p anche $U$ conterrà questo punto e quindi p è di accumulazione per $X$

per il viceversa supponiamo sempre che p punto di accumulazione di $W$ in $X$ stia in $S$ altrimenti la questione è banale. Prendo $U$ aperto in $S$ è del tipo $VnnS$ con $V$ aperto in $X$ quindi $V$ contiene un punto x di $W$ diverso da p siccome $W sub S$ allora $x in U=VnnS$ e p è di accumulazione per $W$ in $S$

dovrebbe andare, ciao :-)
rubik
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Messaggioda dissonance » 10/10/2008, 17:29

Mi pare che vada tutto bene. Riepilogo quanto detto fino adesso:
Sia $S\subX$ sottospazio topologico, $W\subS$. Allora:
    La chiusura di $W$ in $S$ è $barWnnS$ dove $barW$ è la chiusura in $X$;
    il derivato(insieme dei p.ti di accumulazione) di $W$ in $S$ è $W'nnS$, dove $W'$ è il derivato in $X$.

    La frontiera di $W$ in $S$ è contenuta nella frontiera di $W$ in $X$;
    l'interno di $W$ in $X$ è contenuto nell'interno di $W$ in $S$.
    Non valgono le uguaglianze: come controesempio prendiamo $S=[0,1], W=[1/2, 1]$ in $RR$ con la topologia euclidea.
    Se però $S$ è aperto in $X$, allora:
    la frontiera di $W$ in $S$ è la frontiera di $W$ in $X$ intersecata con $S$ ($delWnnS$);
    l'interno di $W$ in $S$ è uguale all'interno di $W$ in $X$.


A parole possiamo dire che nel passaggio alla topologia di sottospazio interno e frontiera si "avvicinano", un po' come se aumentasse la probabilità per un insieme di essere chiuso e/o aperto. Se $S$ è aperto questo processo avviene in maniera semplice: l'interno non cambia e la frontiera si interseca con il sottospazio.

Ci sarebbe da vedere che succede se $S$ è chiuso. La chiusura è facile: non cambia. Infatti la chiusura di $W$ in $S$ è l'intersezione di $barWnnS$ ma $S$ è più grande di $barW$, essendo un chiuso contenente $W$. E presumo che lo stesso succeda al derivato, ma bisognebbe verificarlo.

P.S.: Ah e per quanto riguarda frontiera e interno, se anche $S$ dovesse essere chiuso non possiamo dire granché: prova ne è il controesempio di prima, in cui $S$ era, appunto, chiuso.
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Messaggioda rubik » 10/10/2008, 18:38

mi pare che tutto sia in ordine ;-)

ciao!
rubik
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