Messaggioda j18eos » 30/04/2012, 11:45

Ah sì, me n'ero dimenticato! ](*,)

Ti manca solo da dimostrare che quel limite è \(0\)!
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 30/04/2012, 11:50

Ok grazie, dopo ci penso con calma. :-)
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 30/04/2012, 17:30

Non mi viene. ](*,) ](*,) Ho pensato questo ma secondo me è sbagliato...

Allora... se quel limite fosse uguale a $\epsilon >0$ dovrebbe esistere una successione convergente $x_n$ di elementi di $X$ tali che $ lim_n |f_n(x_n)-f(x_n)|= \epsilon$. Ma per ipotesi sappiamo che $f_n(x) \rightarrow f(x)$ per ogni $x$ quindi $lim f_n(x_n) = lim f(x_n)$ ovvero $lim |f_n(x_n)-f(x_n)| = 0$. Contraddizione.
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Messaggioda j18eos » 30/04/2012, 19:22

Prima di farti notare che il limite da studiare è:\[\lim_n\sup_X\,\,\,\text{una qualche successione}\] e non:\[\lim_n\,\,\,\text{una qualche altra successione}\] quella che hai scritto è una dimostrazione errata della sequenziale continuità delle funzioni continue a valori in \(\mathbb{R}\)! (O almeno così mi pare, ma non è importante.)
Il mio suggerimento è questo:\[\lim_n\sup_X\{f(x)-f_n(x)\in\mathbb{R}_+\}=l>0\] ma mi sa che è un po troppo complicato! :-k

A questo punto imbroglio e ti suggerisco quest'altra via: fissato \(\epsilon>0\) siano:\[\forall n\in\mathbb{N},\,\Omega_n^{\epsilon}=\{x\in X\mid f_n(x)>f(x)-\epsilon\}.\]
Cosa puoi dire sulla successione degli insiemi \(\Omega_n^{\epsilon}\)? Dimostra che sono insiemi aperti, utilizzi la compattezza di \(X\) ed ottieni l'asserto. :wink:

Ah! Dimenticavo, quello che vuoi dimostrare è noto come Lemma di Dini in \(C(X;\mathbb{R})\) con \(X\) spazio topologico compatto.
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Messaggioda j18eos » 04/05/2012, 18:25

Dell'esercizio 14 non mi è chiara la seconda parte della dimostrazione...

Ti rispondo perché pensavo a un rilancio ma aspetto ancora un po! :wink:
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 04/05/2012, 20:38

j18eos ha scritto:Dell'esercizio 14 non mi è chiara la seconda parte della dimostrazione...

Mah guarda neanche a me mi è tanto chiara xD Ho solo seguito l'indizio che mi da il testo:

Hint: If $G_f$ is closed and $V$ is a neighborhood of $f(x)$ then the intersection $G_{f} \cap (X xx (Y-V))$ is closed. Apply ii)

Ti rispondo perché pensavo a un rilancio ma aspetto ancora un po!

Eh lo so, non ho rilanciato più perchè poi il Lemma del Dini sono andato a vedermelo su wikipedia. Se vuoi proporre qualche esercizio prego questo topic sta qua apposta. :-D

Io adesso sto finendo di leggermi il capitolo 3 del Munkres (compattezza locale, one-point compactification e altre robe brutte...). Tra l'altro ho visto su wikipedia che ci sono almeno 3 formulazioni non equivalenti della compattezza locale, il che me la rende ancora più antipatica... :roll:
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Messaggioda j18eos » 05/05/2012, 08:34

In un prodotto topologico finito il prodotto di insiemi chiusi è chiuso. =_=

Risolto il mistero... tutt'ok! :smt023 Per quanto riguarda l'indizio ii all'esercizio 14, l'ho già risolto quando ho sostenuto la prova scritta di ammissione alla S.I.S.S.A. :-D e non ho utilizzato il lemma dell'intorno tubolare (o come si chiama; che tra l'altro, a tutt'oggi, non l'ho ancora studiato).

Ecco il mio rilancio!

Esercizio 17: siano \(X\) uno spazio topologico compatto, \(Y\) uno spazio topologico di Hausdorff connesso ed \(f\in C(X;Y)\); se \(f\) è un omeomorfismo locale allora dimostrare che è suriettiva!
Suggerimenti:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
  • dimostrare che \(f\) è un'applicazione aperta;
  • utilizzare il teorema di incollamento.
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 05/05/2012, 10:17

Finora nel munkres non ho ancora incontrato il concetto di omeomorfismo locale, quindi mi rifaccio a quanto dice wikipedia...

Siccome $X$ è compatto allora $f(X)$ è compatto in $Y$. Ma in un Hausdorff ogni compatto è chiuso, quindi $f(X)$ è chiuso. D'altra parte ogni omeomorfismo locale è una mappa aperta (l'ho letto su wikipedia xD ) quindi $f(X)$ è anche aperto. Ma non può esserci un sottinsieme proprio di $Y$ contemporaneamente aperto e chiuso (altrimenti $Y$ si disconnette) quindi $f(X)=Y$

Ora mi leggo il tuo suggerimento...
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 05/05/2012, 10:30

Aaaah ok quindi vuoi farmi dimostrare che un omeomorfismo locale è una mappa aperta. Ok ora ci penso...
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Messaggioda j18eos » 05/05/2012, 13:34

Se utilizzi subito la proprietà dell'essere \(f\) un'applicazione aperta allora l'esercizio diventa idiota; invece, dato che questa proprietà non la ricordavo quando ho risolto l'esercizio, ho utilizzato la compattezza di \(X\) e quanto ti ho suggerito per ottenere quanto richiesto.

Se ti incuriosiscono delle conseguenze di questo esercizio: pensa alla compattificazione con un punto di uno spazio di Hausdorff(*) connesso (e.g. \((\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\)).

§§§

(*) Un qualsiasi spazio topologico non compatto è compattificabile con un punto, non è necessario che esso sia di Hasudorff.
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