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1) Sia $ X $ uno spazio topologico e siano $ A $ e $ B $ sottoinsiemi di $ X $ e $ A_n $ una successione di parti di $ X $. Indichiamo con $ \bar A $ la chiusura di $ A $ in $ X $. Confutare con un controesempio le seguenti uguaglianze:

a) $ \bar { \bigcup A_n } = \bigcup \bar A_n $

b) $ \bar { \bigcap A_n } = \bigcap \bar A_n $

c) $ \bar {A-B} = \bar A - \bar B $


Svolgimento

a) In $ R $ si ha $ \bar { \bigcup (1/n , 1) } = [0,1] $ mentre $ \bigcup \bar {(1/n , 1)} = \bigcup [1/n,1]= (0,1] $

b) In $R $ si ha che $ \bar { \bigcap (0,1/n) } $ è vuoto mentre $ \bigcap \bar {(0,1/n)} = \bigcap [0,1/n] = {0} $

c) Sempre in $ R $ si ha $ \bar { (0,2)- {1} } = [0,2] $ mentre $ \bar {(0,2)} - bar {{1}} = [0,2]-{1}= [0,1) \cup (1,2] $

Fatto bene? Grazie!

Mi sembra di sì, tra l'altro sono esempi buoni perché in uno spazio non bislacco. Come mai così perplesso?

yellow ha scritto:Come mai così perplesso?

Boh così perche nel libro di topologia non ci sono le soluzioni e allora rompo le scatole qua sul forum ...

Ne metto un'altro

2) Provare che uno spazio $X$ è di Hausdorff se e solo se la diagonale $D={x xx x | x \in X}$ è un sottoinsieme chiuso di $X^2$

Allora... se $X$ è Hausdorff, siano $y \ne z$ due punti di $X$. Esistono allora due intorni $I_y$ e $I_z$ di $y$ e $z$ rispettivamente tali che $I_y \cap I_z$ è vuoto. Se il punto $y xx z$ di $X^2$ è un punto limite di $D$ allora $(I_y xx I_z) \cap D$ non è vuoto cioè esiste $x \in X $ tale che $x xx x \in I_y xx I_z$ e quindi $x \in I_y \cap I_z$ che non è vuoto. Assurdo. Pertanto $D$ contiene tutti i suoi punti limite e quindi è chiuso.

Viceversa sia $D$ chiuso e sia $y xx z \notin D$ allora esiste un intorno $I_y xx I_z$ di $y xx z$ tale che $(I_y xx I_z) \cap D$ è vuoto e quindi $I_y \cap I_z$ è vuoto e quindi esistono due intorni disgiunti dei punti $y$ e $z$ cioè $X$ è Hausdorff.

E' giusto...forse bisogna dire con qualche dettaglio in più nella seconda parte perché puoi prendere l'intorno di $(y,z)$ (le coppie sono coppie, la notazione $y \times z$ è proprio brutta...) fatto proprio in quel modo. comunque il procedimento va bee.

anche se ti viene data solo come un esercizio questa proprietà è molto utile per caratterizzare gli spazio di Hausdorff, quindi tienila sempre a mente.

Grazie mille.

Pappappero ha scritto:La notazione $y xx z$ è proprio brutta...

La usa Munkres probabilmente per distinguere la coppia $(a,b) \in X^2$ dall'intervallo $(a,b) \subset X$, quando spiega il rapporto fra "product topology" e "order topology". Ammetto comunque che è un po esotica

Se la usa Munkres abbassiamo la testa e la accettiamo XDXD. Ho scaricato giusto ieri un suo libro per cominciare a studicchiare qualcosa di omologia e simili, ma ancora non l'ho praticamente aperto.

3) Trovare una funzione $f:R \rightarrow R$ continua in un solo punto.

Nel mio repertorio ci sono tante funzioni definite per ogni numero reale, ma nessuna che sia continua in un punto soltanto. Come si fa? Grazie.

Prova a pensare a una funzione che non è continua in nessun punto, quindi tanto tanto 'bucherellata'...e poi prova a modificarla un po' (ad esempio a schiacciarla) in modo che diventi continua in un punto...

$ f(x)=\{(0, if x \notin Q),(x, if x \in Q) :} $

Dovrebbe essere continua nel solo punto $x=0$ Che ne pensi?

esatto...