Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 27/03/2012, 11:09

1) Sia $ X $ uno spazio topologico e siano $ A $ e $ B $ sottoinsiemi di $ X $ e $ A_n $ una successione di parti di $ X $. Indichiamo con $ \bar A $ la chiusura di $ A $ in $ X $. Confutare con un controesempio le seguenti uguaglianze:

a) $ \bar { \bigcup A_n } = \bigcup \bar A_n $

b) $ \bar { \bigcap A_n } = \bigcap \bar A_n $

c) $ \bar {A-B} = \bar A - \bar B $


Svolgimento

a) In $ R $ si ha $ \bar { \bigcup (1/n , 1) } = [0,1] $ mentre $ \bigcup \bar {(1/n , 1)} = \bigcup [1/n,1]= (0,1] $

b) In $R $ si ha che $ \bar { \bigcap (0,1/n) } $ è vuoto mentre $ \bigcap \bar {(0,1/n)} = \bigcap [0,1/n] = {0} $

c) Sempre in $ R $ si ha $ \bar { (0,2)- {1} } = [0,2] $ mentre $ \bar {(0,2)} - bar {{1}} = [0,2]-{1}= [0,1) \cup (1,2] $

Fatto bene? Grazie! :-)
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda yellow » 27/03/2012, 11:16

Mi sembra di sì, tra l'altro sono esempi buoni perché in uno spazio non bislacco. Come mai così perplesso? :lol:
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 27/03/2012, 13:54

yellow ha scritto:Come mai così perplesso?

Boh così perche nel libro di topologia non ci sono le soluzioni e allora rompo le scatole qua sul forum ... :-D

Ne metto un'altro

2) Provare che uno spazio $X$ è di Hausdorff se e solo se la diagonale $D={x xx x | x \in X}$ è un sottoinsieme chiuso di $X^2$

Allora... se $X$ è Hausdorff, siano $y \ne z$ due punti di $X$. Esistono allora due intorni $I_y$ e $I_z$ di $y$ e $z$ rispettivamente tali che $I_y \cap I_z$ è vuoto. Se il punto $y xx z$ di $X^2$ è un punto limite di $D$ allora $(I_y xx I_z) \cap D$ non è vuoto cioè esiste $x \in X $ tale che $x xx x \in I_y xx I_z$ e quindi $x \in I_y \cap I_z$ che non è vuoto. Assurdo. Pertanto $D$ contiene tutti i suoi punti limite e quindi è chiuso.

Viceversa sia $D$ chiuso e sia $y xx z \notin D$ allora esiste un intorno $I_y xx I_z$ di $y xx z$ tale che $(I_y xx I_z) \cap D$ è vuoto e quindi $I_y \cap I_z$ è vuoto e quindi esistono due intorni disgiunti dei punti $y$ e $z$ cioè $X$ è Hausdorff.
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda Pappappero » 29/03/2012, 18:50

E' giusto...forse bisogna dire con qualche dettaglio in più nella seconda parte perché puoi prendere l'intorno di $(y,z)$ (le coppie sono coppie, la notazione $y \times z$ è proprio brutta...) fatto proprio in quel modo. comunque il procedimento va bee.

anche se ti viene data solo come un esercizio questa proprietà è molto utile per caratterizzare gli spazio di Hausdorff, quindi tienila sempre a mente.
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 29/03/2012, 20:59

Grazie mille.

Pappappero ha scritto:La notazione $y xx z$ è proprio brutta...

La usa Munkres probabilmente per distinguere la coppia $(a,b) \in X^2$ dall'intervallo $(a,b) \subset X$, quando spiega il rapporto fra "product topology" e "order topology". Ammetto comunque che è un po esotica :-D
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda Pappappero » 29/03/2012, 22:04

Se la usa Munkres abbassiamo la testa e la accettiamo XDXD. Ho scaricato giusto ieri un suo libro per cominciare a studicchiare qualcosa di omologia e simili, ma ancora non l'ho praticamente aperto.
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 31/03/2012, 12:04

3) Trovare una funzione $f:R \rightarrow R$ continua in un solo punto.

Nel mio repertorio ci sono tante funzioni definite per ogni numero reale, ma nessuna che sia continua in un punto soltanto. Come si fa? Grazie.
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda Pappappero » 31/03/2012, 12:15

Prova a pensare a una funzione che non è continua in nessun punto, quindi tanto tanto 'bucherellata'...e poi prova a modificarla un po' (ad esempio a schiacciarla) in modo che diventi continua in un punto...
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 31/03/2012, 13:13

$ f(x)=\{(0, if x \notin Q),(x, if x \in Q) :} $

Dovrebbe essere continua nel solo punto $x=0$ Che ne pensi?
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda Pappappero » 31/03/2012, 14:41

esatto...
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