Messaggioda j18eos » 07/05/2012, 22:06

Sì, in effetti l'esercizio 18.a è corretto... basta ricordare a che servono le basi topologiche! :roll:

Domani, se mi si lascia spazio, proporrò un esercizio\sorpresa. :-D

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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda maurer » 07/05/2012, 22:21

perplesso ha scritto:Azz hai quasi ragione... io dicevo questo: per ogni $n$ utilizzo Lindelof per affermare l'esistenza di un ricoprimento numerabile di $X$ mediante palle di raggio $1/n$. In questo modo ottengo una collezione numerabile di ricoprimenti numerabili. L'unione di questa collezione è ancora numerabile. Quello che ho sbagliato è che non ho effettivamente dimostrato che quella che ottengo è una base.

Ok, io intanto non avevo capito che facevi questo. Così va già meglio.

perplesso ha scritto:non ha senso perchè non è detto che $B(x,1/n)$ sia un elemento della mia "base". Invece avrei dovuto dire che $x$ è contenuto in qualche palla facente parte della "base" con raggio sufficientemente piccolo da essere contenuta nell'intono $I_x$. Così è meglio? :oops:

E' meglio, ma coincide con la tua tesi. Quindi devi giustificare meglio. E dovrai usare molto esplicitamente la metrica se la dimostrazione che mi sono fatto in testa adesso funziona. Ti faccio notare che se fosse corretto questo ragionamento da solo, avresti infatti dimostrato che primo numerabile + Lindelof implica secondo numerabile. Magari è vero quest'ultimo fatto, ma non so perché, scommetterei su un controesempio...
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 08/05/2012, 10:34

Ecco ci ho pensato secondo me l'argomento da portare è analogo a quello del punto (a) ... dato $x$ e un suo intorno $I_x$ esiste un $n$ abbastanza grande tale che $B(x,1/n) \subset I_x$. Il ricoprimento numerabile da noi costruito contiene sicuramente una palla di raggio $1/{2n}$ che contiene $x$. Tale palla è banalmente contenuta in $B(x,1/n)$ e quindi in $I_x$.

j18eos ha scritto:Domani, se mi si lascia spazio, proporrò un esercizio\sorpresa

Attendiamo la sorpresona! :smt023
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 08/05/2012, 10:56

20) Se $X$ è Lindelof e $Y$ è compatto il prodotto $X xx Y$ è Lindelof

Su questo ho solo una mezza idea ma non sono sicurissimo. Secondo me è sufficiente considerare un ricoprimento $C$ formato da elementi $A xx B$ di una base di $X xx Y$. Siano $p_1$ e $p_2$ le proiezioni sulla prima e sulla seconda coordinata. Allora $p_1(C)$ è un ricoprimento aperto di $X$ mentre $p_2(C)$ è un ricoprimento aperto di $Y$. pertanto possiamo estrarre un ricoprimento numerabile ${A_1,A_2,A_3,...} \in p_1(C)$ ed un ricoprimento finito ${B_1,...,B_k} \in p_2(C)$. Se scegliamo un elemento di $C$ per ogni $A_i$ e un elemento di $C$ per ogni $B_i$ otteniamo un ricoprimento numerabile di $X xx Y$.

Dubito che sia giusto perchè altrimenti con lo stesso ragionamento potrei mostrare che il prodotto di due Lindelof è Lindelof, cosa falsa. Domanda: cosa ho sbagliato? Grazie! xD
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Messaggioda j18eos » 08/05/2012, 19:43

perplesso ha scritto:...Se scegliamo un elemento di $C$ per ogni $A_i$ e un elemento di $C$ per ogni $B_i$ otteniamo un ricoprimento numerabile di $X xx Y$...
Ecco cosa sbagli, ottieni sì un ricoprimento per aperti di \(X\times Y\) estratto da \(C\), ma fai attenzione... Preferisco che ci arrivi tu da solo, tanto hai tutte le capacità!
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda maurer » 08/05/2012, 20:14

perplesso ha scritto:Ecco ci ho pensato secondo me l'argomento da portare è analogo a quello del punto (a) ... dato $x$ e un suo intorno $I_x$ esiste un $n$ abbastanza grande tale che $B(x,1/n) \subset I_x$. Il ricoprimento numerabile da noi costruito contiene sicuramente una palla di raggio $1/{2n}$ che contiene $x$. Tale palla è banalmente contenuta in $B(x,1/n)$ e quindi in $I_x$.

Sì, adesso va benone.
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Messaggioda perplesso » 08/05/2012, 21:55

j18eos ha scritto:
perplesso ha scritto:...Se scegliamo un elemento di $C$ per ogni $A_i$ e un elemento di $C$ per ogni $B_i$ otteniamo un ricoprimento numerabile di $X xx Y$...
Ecco cosa sbagli, ottieni sì un ricoprimento per aperti di \(X\times Y\) estratto da \(C\), ma fai attenzione...

Mi sono appena reso conto che quello da me costruito non è affatto un ricoprimento xD Mi tocca modificare un pò questa parte della dimostrazione. Grazie!!!
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 08/05/2012, 23:17

Anzi no l'ho modificata tutta... Il sottoinsieme $x xx Y$ è compatto (perchè omeomorfo a $Y$) quindi posso coprirlo con un numero finito di elementi di $C$. Sia $C_x$ questo ricoprimento finito. Per il lemma del tubo l'unione $\bigcup C_x$ degli elementi di $C_x$ contiene un aperto tubolare $U_x xx Y$ che contiene $x xx Y$. Allora l'insieme ${U_x|x \in X}$ è un ricoprimento per aperti di $X$ dal quale è possibile estrarre un ricoprimento numerabile ${U_1,U_2,... }$. Adesso per ogni $U_i$ scegliamo uno dei ricoprimenti $C_x$ tale che $U_i xx Y \subset \bigcup C_x$. Otteniamo così una collezione numerabile di ricoprimenti finiti $C_1,C_2,...$ Se li uniamo tutti otteniamo un ricoprimento numerabile di $X xx Y$.

Mi rendo conto che è un pò contorto ma spero che almeno l'idea di fondo (se è giusta) si capisca...
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 12/05/2012, 19:18

21) Show that every connected normal space having more than one point is uncountable.

Sia $X$ il nostro spazio. Per ipotesi esistono due punti distinti $x$ e $y$. I singoletti ${x}$ e ${y}$ sono chiusi (perche se $X$ è normale allora è anche $T_1$) e disgiunti. Per il Lemma di Urysonh esiste una funzione continua $f: X \rightarrow [0,1]$ tale che $f(x)=0$ e $f(y)=1$. Siccome $X$ è connesso vale il teorema dei valori intermedi. Quindi la funzione $f$ assume tutti i valori compresi fra $0=f(x)$ e $1=f(y)$, in altre parole è surriettiva. Ma non può esistere una funzione surriettiva da un insieme numerabile su $[0,1]$. Pertanto $X$ ha come minimo la cardinalità del continuo.
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Messaggioda j18eos » 13/05/2012, 10:09

perplesso ha scritto:...Adesso per ogni $U_i$ scegliamo uno dei ricoprimenti $C_x$ tale che $U_i xx Y \subset \bigcup C_x$. Otteniamo così una collezione numerabile di ricoprimenti finiti $C_1,C_2,...$
Non mi è tanto chiaro questo passaggio, forse pure un po colpa della notazione non proprio liscia!
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