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Re: Esercizi di topologia
Inviato:
24/04/2012, 18:57
da perplesso
13) Let $A$ and $B$ be disjoint compact subspaces of the Hausdorff space $X$. Show that there exist disjoint open sets $U$ and $V$ containing $A$ and $B$ respectively
Per la soluzione utilizziamo il seguente:
Lemma
If $Y$ is a compact subspaces of the Hausdorff space $X$ and $x_0$ is not in $Y$, then there exist disjoint open sets $U$ and $V$ containing $x_0$ and $Y$ respectively.
Sfruttando la compattezza di $B$ ed il Lemma precedente possiamo affermare che per ogni $x \in A$ esiste $V_x$ tale che $x \notin V_x$ e $B \subseteq V_x$. Pertanto $B \subseteq \bigcap_{x \in A} V_x$ e inoltre $A \cap \bigcap_{x \in A} V_x = \emptyset$.
Usando poi la compattezza di $A$ ed il Lemma possiamo dire che per ogni $y \in \bigcap_{x \in A} V_x$ esiste $U_y$ tale che $y \notin U_y$ e $A \subseteq U_y$. Quindi $A \subseteq \bigcap_{y \in \bigcap V_x } U_y$ e inoltre $\bigcap_{y \in \bigcap V_x } U_y \cap \bigcap_{x \in A} V_x = \emptyset$.
Pertanto $\bigcap_{y \in \bigcap V_x } U_y$ e $bigcap_{x \in A} V_x$ sono gli aperti cercati.
Che vi sembra?
Re: Esercizi di topologia
Inviato:
24/04/2012, 22:12
da yellow
Ma la compattezza c'era nelle ipotesi?
Re: Esercizi di topologia
Inviato:
24/04/2012, 22:53
da perplesso
Ops nel copiare la traccia ho saltato la parolina "compact". Corretto grazie. xD
Re: Esercizi di topologia
Inviato:
24/04/2012, 23:07
da yellow
La dimostrazione mi sembra giusta ma hai messo tutte intersezioni invece che unioni
.
Domani mi diverto a cercare di dimostrare il lemma (edit: vabbè penso di aver già capito, ma proverò comunque a formalizzare se ho 5 minuti!).
Re: Esercizi di topologia
Inviato:
24/04/2012, 23:15
da perplesso
yellow ha scritto:La dimostrazione mi sembra giusta ma hai messo tutte intersezioni invece che unioni
.
Si lo so che ho messo le intersezioni ... ho sbagliato? Boh ci penserò
Re: Esercizi di topologia
Inviato:
24/04/2012, 23:18
da yellow
No sono io che sono troppo pigro per leggere bene. Però a questo punto non capisco perché l'intersezione sia necessariamente un aperto. Ci penserò anch'io
.
Re: Esercizi di topologia
Inviato:
24/04/2012, 23:20
da perplesso
Ecco questa è una bella domanda, ora ho capito l'obiezione (peraltro calzante xD) Ci penso...
Re: Esercizi di topologia
Inviato:
25/04/2012, 00:13
da maurer
La dimostrazione è quasi giusta, ma i dettagli sono da sistemare.
Per ogni \( \displaystyle x \in A \) scegliete \( \displaystyle U_x,V_x \) con \( \displaystyle U_x \) intorno di \( \displaystyle x \) , \( \displaystyle V_x \) intorno di \( \displaystyle B \) tali che \( \displaystyle U_x \cap V_x = \emptyset \) .
Al variare di \( \displaystyle x \in A \) gli \( \displaystyle U_x \) ricoprono \( \displaystyle A \) , sicché per compattezza troviamo \( \displaystyle x_1,\ldots,x_n \in A \) tali che \( \displaystyle A \subset U := \bigcup_{i = 1}^n U_{x_i} \) . A questo punto ponete \( \displaystyle V := \bigcap_{i = 1}^n V_{x_i} \) .
Chiaramente \( \displaystyle U \) e \( \displaystyle V \) sono intorni aperti di, rispettivamente, \( \displaystyle A \) e \( \displaystyle B \) . Rimane da mostrare che \( \displaystyle U \cap V = \emptyset \) . Sia \( \displaystyle x \in V \) ; allora se \( \displaystyle x \in U \) si avrebbe \( \displaystyle x \in U_{x_i} \) per qualche \( \displaystyle i = 1,\ldots,n \) ; ma \( \displaystyle x \in V \subset V_i \) e \( \displaystyle V_i \cap U_i = \emptyset \) , quindi abbiamo un assurdo. []
Re: Esercizi di topologia
Inviato:
25/04/2012, 10:31
da perplesso
Bella!
Io purtroppo ho complicato la cosa inutilmente perchè invece di usare l'ipotesi di compattezza in modo diretto, mi ero fissato nel voler applicare il lemma due volte (una per A e una per B) xD . Grazie mille.
Re: Esercizi di topologia
Inviato:
25/04/2012, 10:39
da maurer
Con sostanzialmente la stessa tecnica dimostri il lemma che hai citato.
Una delle conseguenze più utili di quel lemma è il fatto che un compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.
E quindi le mappe da un compatto ad un Hausdorff sono sempre mappe chiuse! Visto che poi quando si inizia ad usare la topologia veramente (in geometria) i tuoi spazi sono sempre di Hausdorff e talvolta sono compatti, questa banalità diventa di un'utilità mostruosa!