perplesso ha scritto:Azz hai quasi ragione... io dicevo questo: per ogni $n$ utilizzo Lindelof per affermare l'esistenza di un ricoprimento numerabile di $X$ mediante palle di raggio $1/n$. In questo modo ottengo una collezione numerabile di ricoprimenti numerabili. L'unione di questa collezione è ancora numerabile. Quello che ho sbagliato è che non ho effettivamente dimostrato che quella che ottengo è una base.
Ok, io intanto non avevo capito che facevi questo. Così va già meglio.
perplesso ha scritto:non ha senso perchè non è detto che $B(x,1/n)$ sia un elemento della mia "base". Invece avrei dovuto dire che $x$ è contenuto in qualche palla facente parte della "base" con raggio sufficientemente piccolo da essere contenuta nell'intono $I_x$. Così è meglio?
E' meglio, ma coincide con la tua tesi. Quindi devi giustificare meglio. E dovrai usare molto esplicitamente la metrica se la dimostrazione che mi sono fatto in testa adesso funziona. Ti faccio notare che se fosse corretto questo ragionamento da solo, avresti infatti dimostrato che primo numerabile + Lindelof implica secondo numerabile. Magari è vero quest'ultimo fatto, ma non so perché, scommetterei su un controesempio...