Calcolo tensoriale

[frnero]

Salve vi volevo chiedere un consiglio, sto seguendo due corsi che richiedono delle nozioni abbastanza avanzate di calcolo tensoriale che purtroppo non ho perché non previsto un esame che le introduca. Avete per caso del materiale abbastanza sintetico(veramente sintetico) che possa spigarmi semplicemente le nozioni fondamentali del calcolo tensoriale? Grazie

[Flamber]

Sui libri che trattano di fisica dei semiconduttori generalmente c'è un capitolo sui tensori, ma lo stretto indispensabile che serve per capire come si muovano le cariche in un cristallo, e non è nulla di troppo approfondito. Appendici del genere penso tu le possa trovare anche in testi di base che trattano la reatività.

Mi ero informato per qualcosa di più completo, anche se poi non ho approfondito, e tutti consigliavano"Algebra" di Serge Lang.

[navigatore]

Prova a dare un'occhiata a queste 30 pagine di Nearing, che mi sembrano chiare :

http://www.physics.miami.edu/~nearing/m ... ensors.pdf

oppure a questa pagina di Freescience books :

http://www.freescience.info/books.php?id=224

qui il più semplice è Sharipov :

http://www.freescience.info/go.php?page ... oks&id=453

[frnero]

Qualcosa in italiano?
Potreste darmi una definizione quanto più pratica è possibile del tensore? casomai collegandolo ai normali vettori. Grazie

[navigatore]

Anche in italiano c'è molta roba sul web , per esempio (ma sono un centinaio di pagine) :

http://cab.unime.it/journals/index.php/ ... ew/828/635

oppure la prima di queste dispense di Monica De Angelis.

E poi, che diamine …non ci dimentichiamo dei nostri cari Lussardi e Amadori … altrimenti che lo hanno scritto a fare il libro ??!! :

https://www.matematicamente.it/staticfil ... a-cap3.pdf

Leggiti anche questo documento di Elio Fabri, che ti serve per capire i concetti di "covariante" e "controvariante".

http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/tensori.pdf

e questa vecchia discussione che ho trovato qui :

viewtopic.php?f=37&t=42700#p314607

Quando hai capito che i vettori che comunemente si usano nello fisica sono tensori controvarianti del primo ordine, e come si fa a passare dalle componenti controvarianti alle covarianti (ma nello spazio euclideo munito di coordinate cartesiane non c'è differenza);
e quando hai capito come si fa a passare (sotto certe rigorose ipotesi di lavoro!) dalle componenti $v^\alpha$ in una certa base$ {e_\alpha}$ (cioè , da $v^\alphae_\alpha$ ) a quelle $v'^\beta$ in un'altra base $ {e'_\beta}$ (cioè a $v'^\betae'_\beta$ ) , mediante una trasformazione lineare¹ che coinvolge le derivate parziali prime delle coordinate :

$v'^\alpha = (partial x'^\alpha)/(partialx^\beta)v^\beta$

hai già capito un bel po' dei tensori.

I tensori hanno (in generale) più indici dei vettori, indici che sono messi un po' in alto e un po' in basso per un motivo ben preciso legato proprio alle trasformazioni di coordinate (matematici scusatemi !) , e sono oggetti matematici utili per descrivere la stessa legge fisica in riferimenti diversi, mediante equazioni tensoriali.
Una equazione tra tensori, se è valida in un riferimento, è valida anche in un'altro riferimento qualsiasi (ma ci vogliono, ripeto, parecchie precisazioni sugli spazi sui sistemi di coordinate in tali spazi, e trovi tutto nelle dispense) . Con i tensori fai dell'algebra tensoriale, e fai dell'analisi tensoriale, integrazione, derivazione…..

MA la comodità è quella : liberarsi dalle coordinate. Ecco perché Einstein li usò in Relativita , soprattutto generale : cercava una matematica per descrive le leggi della fisica in maniera "covariante" , come si dice, cioè in modo che fossero valide per qualunque riferimento (= osservatore) . E i tensori permettono proprio questo. Se una equazione tensoriale è valida in un riferimento , è valida anche in un altro, cambiando adeguatamente le componenti come ti ho accennato per i vettori. Per i tensori, sono coinvolte nella legge di trasformazione tante derivate parziali di coordinate in un riferimento rispetto a quelle nell'altro riferimento, quanti indici in alto e in basso ha il tensore , perciò l'espressione sembra complicata! Ma si tratta sempre di trasformazioni "multilineari" .
Anzi i matematici definiscono preferibilmente i tensori come applicazioni multilineari, però per fare dei conti, anche con programmi computerizzati, ci vogliono sempre le componenti.

Per esempio, quella che ho messo nella mia firma è una equazione tensoriale, e i tensori sono "covarianti del secondo ordine" avendo ognuno di essi due indici in basso. Il tensore $g_(munu)$ è il tensore metrico, che la fa da padrone definendo le caratteristiche geometriche del "suo" spazio , cioè delle sue coordinate, da cui dipende.

Comunque, per capire bene, è meglio dedicarsi allo studio. Definizioni sintetiche e riassuntive non se ne possono dare, a mio parere. È brigoso per via degli indici, ma non è difficile.

Buon studio.

---

Note

1. nelle espressioni scritte si sottintende la sommatoria rispetto a un indice alto e un indice basso uguale, ripetuto 1 sola volta, secondo la convenzione di Einstein ↑

[Giux]

guarda... cercando anch'io materiale del genere mi sono imbattuto per caso in questo libro... che non so se sia abbastanza approfondito ma credo sia molto introduttivo...

http://ilmiolibro.kataweb.it/schedalibro.asp?id=570090