Soluzione di un equazione integro-differenziale

[Rant]

Salve a tutti, è da un (bel) po' che circolo su questo forum senza in realtà mai aver avuto bisogno di scrivere (c'era sempre qualcuno che aveva avuto i miei stessi dubbi o qualcosa di vicino e ci potevo lavorare su)

Vorrei risolvere questa equazione (viene da problemi di viscoelasticità):

\(\displaystyle

\partial_{y} u(x,y) + \partial_{x} u(x,y) + \int_{0}^{x} r(x-s)u(s,y) ds = 0
\)

in $(0,+infty) \times (0,+infty) $ con $u(0,y)=\delta(y)$ e $u(x,0)= 0$

Questo è quanto ho provato

Usando la trasformata di laplace in $x$ quello che ottengo è

\(\displaystyle
\partial_y \hat{u}(s,y) + (s + \hat{r}(s) ) \hat{u}(s,y) = \delta(y)
\)

da cui ottengo $\hat{u}(s,y) = e^{-sy} * e^{-r(s) y} H(y)$

cioè $u(x,y) = \mathcal{L}^{-1}{e^{-r(s)\:y} H(y)}(x-y,y) $ dove $\mathcal{L}^{-1}$ è la trasformata di laplace inversa.

Ha senso tutto ciò?

[j18eos]

Dando per scontato che \(\displaystyle\delta\) è la funzione di Dirac centrata in \(\displaystyle0\), oltre che \(\displaystyle H\) sia la funzione (a scalino) di Heavisede; non mi torna che sia:
\[
\delta(0)=u(0,0)=0.
\]

[Rant]

Dando per scontato che \(\displaystyle\delta\) è la funzione di Dirac centrata in \(\displaystyle0\), oltre che \(\displaystyle H\) sia la funzione (a scalino) di Heaviside; non mi torna che sia:
\[
\delta(0)=u(0,0)=0.
\]

Confermo $\delta(y)$ è la Delta di Dirac in 0 e $H(y)$ la funzione a scalino di Heaviside.

Hai ragione, le condizioni al bordo sono una delle cose che mi danno più da pensare.

Quello che vorrei è che $u$ si comportasse come una funzione di Green (o meglio il kernel di una distribuzione): cioè per una qualsiasi funzione test $\phi$ (a supporto in $(0,\infty)$) : $\int u(x,y) \phi(y) dy \to \phi(0)$ per $x \to 0$

Grazie per l'osservazione, devo probabilmente rivedere come ci sono arrivato all'equazione e magari postare qualcosa di più sensato!