Il teorema di struttura degli anelli artiniani

[j18eos]

Traduco da [AM]:

Teorema 8.7 (teorema di struttura degli anelli artiniani). Un anello di Artin [cioè artiniano, NdT] è unicamente (a meno di isomorfismi) il prodotto diretto finito di anelli locali di Artin.

e segue la dimostrazione, che francamente non mi piace!

Propongo la dimostrazione di questo teorema, come conseguenza di alcuni esercizi tratti da [Bo]¹.

Bozza della dimostrazione:

1. Sia \(\displaystyle R\) un anello; dimostrare che per ogni ideale massimale \(\displaystyle\mathfrak{m}\) di \(\displaystyle R\) e \(\displaystyle n\in\mathbb{N},\,R_{\displaystyle/\mathfrak{m}^n}\) è un anello locale. [Bo] esercizio 1.2.2.
2. Sia \(\displaystyle(R,\mathfrak{m}_1,\dots,\mathfrak{m}_r)\) un anello semilocale; detto \(\displaystyle\mathcal{J}(R)\) il suo radicale di Jacobson, se:
   \[
   \exists n\in\mathbb{N}\mid\mathcal{J}(R)^n=\{0\}
   \]
   allora \(\displaystyle R\) è un prodotto (finito) di anelli locali. [Bo] esercizio 1.3.3.
3. Senza cambiare i nomi e le ipotesi dall'esercizio precedente, dimostrare che \(\displaystyle R_{\displaystyle/\mathfrak{m}^n}\) è isomorfo a \(\displaystyle R_{\mathfrak{m}}\). [Bo] esercizio 2.2.3 (b).
4. Sia \(\displaystyle R\) un anello artiniano; dimostrare che:
   
   1. i suoi ideali primi sono massimali;
   2. \(\displaystyle R\) è un anello semilocale;
   3. le localizzazioni di \(\displaystyle R\) sono anelli artiniani.
   Evincere dai precedenti punti, che \(\displaystyle R\) è canonicamente isomorfo² a un prodotto diretto (finito) di anelli artiniani locali, i quali sono le localizzazioni di \(\displaystyle R\) nei suoi ideali massimali. [Bo] esercizio 2.2.3 (a).
5. Senza cambiare i nomi, utilizzando il punto 4.a e la proprietà universale delle localizzazioni di anelli, dimostrare che questa decomposizione di \(\displaystyle R\) come prodotto diretto finito è unica a meno di isomorfisimi (di anelli)³.

Suggerimenti: il punto 4.a è la proposizione 8.1 da [AM] e il punto 4.b è la proposizione 8.3 da [AM], o se volete una sintesi, sono la proposizione 2.2.7 da [Bo]; quindi si possono dare per scontati.
Negli altri esercizi, passare al quoziente...

Bibliografia:

• [AM] Atiyah, Mac Donald - Introduction to Commutative Algebra;
• [Bo] Bosch - Algebraic Geometry and Commutative Algebra.

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Note

1. Per esercizio a.b.c intendo l'esercizio dal capitolo a, dalla sezione b, con numero c. Idem per i teoremi & co. ↑
2. Qui sta una prima differenza; ricordo la definizione di mappa canonica. ↑
3. In [AM], questa unicità è dimostrata con l'utilizzo delle decomposizioni primarie di ideali; strumento che non serve in questa dimostrazione proposta, oltre che essere i.m.h.o. un overloading. ↑

[j18eos]

Per sbaglio, avevo proposto di dimostrare che:

...Sia \( \displaystyle R \) un anello; dimostrare che per ogni ideale massimale \( \displaystyle\mathfrak{m} \) di \( \displaystyle R \) e per \(\displaystyle n\in\mathbb{N}\) sufficientemente grande, \(R_{\displaystyle/\mathfrak{m}^n} \) è isomorfo a \( \displaystyle R_{\mathfrak{m}} \)...

ma come ha notato _fabricius_:

...nel caso in cui \( R=\mathbb Z \) ed \( \mathfrak m = (2) \) si ha che \( \mathbb Z / (2)^n = \mathbb Z / 2^n \mathbb Z \) è finito, mentre \( \mathbb{Z}_{(2)} \) non lo è, quindi non possono essere mai isomorfi.

Ciò è dovuto al fatto che avevo invertito l'ordine tra i punti secondo e terzo dell'esercizio; ora sono scritti nell'ordine giusto!

Lo scrivo anche per altri utenti che si stanno cimentando nella risoluzione dell'esercizio.

Buon divertimento.
Armando