da Scotti » 31/03/2015, 23:41
Ciao
rispondo a spizzichi nei ritagli di tempo. Perdonerai qualche imprecisione formale.
Considero un insieme aperto \( E\subseteq \mathbb{R}^2 \) così definito:
$E ={(x,y) in \mathbb{R} xx \mathbb{R} : a < x < b; alpha(x) < y < beta(x)}$
dove $alpha(x)$ e $beta(x)$ sono due funzioni continue sul compatto aperto $(a,b)$. $E$ è un insieme aperto misurabile con misura:
$m(E) = int int_E dx dy = int_a^b |beta(x) - alpha(x)| dx$
Costruisco ora l'insieme $E^star$ cerchio aperto e misurabile: passo in coordinate polari ponendo invarianza per le misure, quindi:
$m(E^star) = int_0^(2pi)d theta int_0^r rho drho = pi r^2 = m(E) = int_a^b |beta(x) - alpha(x)| dx$
da cui:
$ r = sqrt(m(E))/sqrt(pi)$
Quindi posso così definire:
$E^star ={(theta, rho) : 0< theta < 2pi; 0 < rho < sqrt(m(E))/sqrt(pi)}$ quindi un cerchio di raggio $sqrt(m(E))/sqrt(pi)$ esclusa la frontiera.
Ora costruisco la relativa trasformazione invertibile $f : E sube mathbb{R}^2 rarr E^star sube mathbb{R}^2$
Fissato un $x_0 in (a,b)$ considero $E\cap \{x<x_0\}$, questo essendo un sottoinsieme di misurabile è misurabile. Determino un $theta$ tale che:
$m(E^star(theta)) = m(E(x_0))$
quindi:
$m(E^star(theta)) = r^2/2 theta = int_a^(x_0) |beta(x) - alpha(x)| dx = m(E(x_0))$
da cui:
$theta =2/r^2 int_a^(x_0) |beta(x) - alpha(x) dx $
Ora $E\cap \{x=x_0\}$ è misurabile unidimensionalmente essendo insieme unidimensionale limitato. Allora se considero un qualunque punto $alpha(x_0) < y_0 < beta(x_0)$ posso associare un valore di $rho$
$rho/(y_0 - alpha(x_0)) = r/(|beta(x_0) - alpha(x_0)|)$
da cui posso definire la trasformazione:
$f(x_0, y_0) = { ( theta =(2pi)/(m(E)) int_a^(x_0) |beta(x) - alpha(x)| dx ),( rho= sqrt(m(E))/sqrt(pi)(y_0 - alpha(x_0))/(|beta(x_0) - alpha(x_0)|) ):}$
Dalla definizione, $f(x_0, y_0)$ è continua e invertibile in quanto $rho$ è definita su un aperto e $theta$ è definita per mezzo di una funzione integrale strettamente crescente, in quanto l'integranda è continua e positiva, ed è quindi continua e invertibile.
Costruita "con le mani".
Spero sia sufficiente.
Bye
“…..Per quanto inaccessibili possano sembrarci questi problemi, abbiamo, nondimeno, la ferma convinzione che la loro soluzione deve conseguire in un numero finito di processi logici…“
David Hilbert