Funzione a somma nulla sui vertici di un poligono.

Messaggioda robbstark » 23/03/2015, 13:01

1) Sia $f:RR^2 -> RR$ tale che $f(A)+f(B)+f(C)+f(D) = 0$ per ogni $\{A,B,C,D\}$ vertici di un quadrato.
Possiamo dedurre che $f(P) = 0$ per ogni $P in RR^2$?

2) Stessa domanda se invece vale la relazione $f(A)+f(B)+f(C) = 0$ per ogni $\{A,B,C\}$ vertici di un triangolo equilatero.

3) Cosa si può dire in caso di relazioni analoghe definite su altri poligoni regolari?
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Messaggioda j18eos » 23/03/2015, 15:21

Se \(\displaystyle f\) è continua, la risposta è sì!
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
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Re: Funzione a somma nulla sui vertici di un poligono.

Messaggioda robbstark » 23/03/2015, 21:10

Sono perfettamente d'accordo con te, ma non ho detto che $f$ è continua :)
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Re: Funzione a somma nulla sui vertici di un poligono.

Messaggioda Martino » 31/03/2015, 18:40

Bel problema! Ho un'idea che mi piace parecchio ma non riesco a trovare il tempo di formalizzare bene il tutto.

Un dato quadrato corrisponde a un'equazione omogenea con quattro incognite, x+y+z+w=0, e ogni quadrato corrisponde a una tale equazione. Se disegnamo un punto all'interno di questo quadrato generiamo 9 incognite (le quattro di prima, questo al centro e le quattro proiezioni del punto centrale sui lati) e 5 equazioni (5 quadrati), se ora disegnamo un punto all'interno di ognuno dei quattro quadratini e proiettiamo tutto come sopra otteniamo 25 incognite e 30 equazioni (quindi siamo in affari perché abbiamo più equazioni che incognite). Le equazioni sono tutte del tipo x_a + x_b + x_c + x_d = 0. Per concludere si tratta di mostrare (se è vero) che il rango del sistema di equazioni risultante è massimo.
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Re: Funzione a somma nulla sui vertici di un poligono.

Messaggioda Martino » 31/03/2015, 21:00

Mi ero scordato del quadrato diagonale!

Dato un punto \( \displaystyle x \) del piano facciamo il seguente disegno. Ogni quadrato corrisponde a un'equazione. Quindi abbiamo nove incognite e sei equazioni. Se risolviamo il sistema con Wolfram Alpha troviamo \( \displaystyle f(x)=0 \) (non so cosa succede se lo risolviamo a mano) :D

A proposito dove l'hai pescato questo problema? Puoi dare una fonte?

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Re: Funzione a somma nulla sui vertici di un poligono.

Messaggioda Martino » 01/04/2015, 14:13

Funziona anche per il triangolo equilatero, il disegno è questo:

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Re: Funzione a somma nulla sui vertici di un poligono.

Messaggioda robbstark » 01/04/2015, 17:11

Complimenti, sono sostanzialmente equivalenti alle soluzioni che avevo pensato io, solo che ho risolto i sistemi a mano.
Per il quadrato, se sommo i valori della funzione nei vertici dei quattro quadratini (per brevità indico $f(a)$ semplicemente con $a$):
$(a+h+x+e)+(h+d+g+x)+(g+c+f+x)+(b+e+x+f)=0$
$(a+b+c+d) + 2(e+f+g+h) + 4x = 0$
ed essendo $abcd$ ed $efgh$ dei quadrati, resta $x=0$.
Analogamente per il triangolo equilatero, se si sommano i valori in tutti i vertici dei triangolini, ciascun vertice dell'esagono viene sommato 2 volte, mentre il centro 6 volte.

Idea per il caso generale (non dimostrazione):
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per l'esagono regolare basta fare un'apposita figura e si ottiene la stessa conclusione.

Triangolo, quadrato ed esagono regolare sono casi particolari, perché sono gli unici poligoni regolari con i quali è possibile piastrellare un pavimento piano. Penso che per altri poligoni regolari potrebbe non essere vero che la funzione risulti ovunque nulla.

Ovviamente se si aggiungono altre ipotesi, per esempio la continuità, oppure funzione nulla su un pentagono qualsiasi, allora diventa banale concludere che la funzione deve essere nulla.


La fonte non la so, la parte del quadrato mi è stata proposta da un amico, che probabilmente lo ha letto su qualche altro forum. L'estensione ad altri poligoni è stata una mia curiosità.
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Re: Funzione a somma nulla sui vertici di un poligono.

Messaggioda Martino » 01/04/2015, 17:27

Eccola qui la fonte ! E rimanda a questo per quanto riguarda i poligoni regolari generici.

L'ho trovata qui.
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Re: Funzione a somma nulla sui vertici di un poligono.

Messaggioda robbstark » 01/04/2015, 19:55

Interessante, adesso sappiamo la risposta nel caso generale. E l'ultima fonte fornisce un aiuto che potrebbe rivelarsi utile.
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