Incollare un insieme su un cerchio

[gugo82]

Esercizio
Provare che è possibile "incollare" un aperto \(E\subseteq \mathbb{R}^2\) limitato e connesso su un qualsiasi cerchio \(E^\star\) aperto avente la medesima misura.

In termini più precisi, provare che, se \(\operatorname{m}(E) < + \infty\), costruire esplicitamente ("con le mani") un'applicazione \(\mathbf{f} :E\to E^\star\) biiettiva e continua.

[Scotti]

Un piccolo input ??

Bye

[gugo82]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Hint: Per ogni insieme aperto \(E\), fissato \(x_0\in \mathbb{R}\), l'insieme \(E\cap \{x<x_0\}\) è misurabile e la funzione \(x_0\mapsto \operatorname{area} \big( E\cap \{x<x_0\}\big)\) è strettamente crescente; analogamente, l'insieme \(E\cap \{x=x_0\}\) è misurabile unidimensionalmente. Si usino questi due fatti per costruire l'applicazione \(\mathbf{f}\).

[Scotti]

Ciao
rispondo a spizzichi nei ritagli di tempo. Perdonerai qualche imprecisione formale.

Considero un insieme aperto \( E\subseteq \mathbb{R}^2 \) così definito:
$E ={(x,y) in \mathbb{R} xx \mathbb{R} : a < x < b; alpha(x) < y < beta(x)}$
dove $alpha(x)$ e $beta(x)$ sono due funzioni continue sul compatto aperto $(a,b)$. $E$ è un insieme aperto misurabile con misura:

$m(E) = int int_E dx dy = int_a^b |beta(x) - alpha(x)| dx$

Costruisco ora l'insieme $E^star$ cerchio aperto e misurabile: passo in coordinate polari ponendo invarianza per le misure, quindi:

$m(E^star) = int_0^(2pi)d theta int_0^r rho drho = pi r^2 = m(E) = int_a^b |beta(x) - alpha(x)| dx$

da cui:

$ r = sqrt(m(E))/sqrt(pi)$

Quindi posso così definire:

$E^star ={(theta, rho) : 0< theta < 2pi; 0 < rho < sqrt(m(E))/sqrt(pi)}$ quindi un cerchio di raggio $sqrt(m(E))/sqrt(pi)$ esclusa la frontiera.
Ora costruisco la relativa trasformazione invertibile $f : E sube mathbb{R}^2 rarr E^star sube mathbb{R}^2$

Fissato un $x_0 in (a,b)$ considero $E\cap \{x<x_0\}$, questo essendo un sottoinsieme di misurabile è misurabile. Determino un $theta$ tale che:

$m(E^star(theta)) = m(E(x_0))$

quindi:

$m(E^star(theta)) = r^2/2 theta = int_a^(x_0) |beta(x) - alpha(x)| dx = m(E(x_0))$

da cui:

$theta =2/r^2 int_a^(x_0) |beta(x) - alpha(x) dx $

Ora $E\cap \{x=x_0\}$ è misurabile unidimensionalmente essendo insieme unidimensionale limitato. Allora se considero un qualunque punto $alpha(x_0) < y_0 < beta(x_0)$ posso associare un valore di $rho$

$rho/(y_0 - alpha(x_0)) = r/(|beta(x_0) - alpha(x_0)|)$

da cui posso definire la trasformazione:

$f(x_0, y_0) = { ( theta =(2pi)/(m(E)) int_a^(x_0) |beta(x) - alpha(x)| dx ),( rho= sqrt(m(E))/sqrt(pi)(y_0 - alpha(x_0))/(|beta(x_0) - alpha(x_0)|) ):}$

Dalla definizione, $f(x_0, y_0)$ è continua e invertibile in quanto $rho$ è definita su un aperto e $theta$ è definita per mezzo di una funzione integrale strettamente crescente, in quanto l'integranda è continua e positiva, ed è quindi continua e invertibile.

Costruita "con le mani".
Spero sia sufficiente.

Bye

[Scotti]

@gugo82

È quello che cercavi ?? È quello che intendevi costruita con le mani ??
Un piccolo e prezioso commento mi sarebbe molto utile. Ti ringrazio in anticipo.

Bye