Teorema di Uniformizzazione

[Oznerol.92]

Salve a tutti.

Sono uno studente triennale di matematica, e sto studiando un po' di superfici di Riemann e di geometria riemanniana. Volevo chiedere un parere riguardo il teorema di uniformizzazione di Riemann (TUR). In particolare, volevo saperne di più riguardo alla formulazione del TUR non per superfici di Riemann, ma per superfici riemanniane non orientabili (chiamerò questo teorema TUR').

Come riferimento, va benissimo http://en.wikipedia.org/wiki/Uniformization_theorem.

Volevo provare a dedurre TUR' a partire da TUR. Per fare questo, ho pensato di sfruttare:

1- il teorema di esistenza di coordinate isoterme. In questo modo dimostro che ogni superficie riemanniana orientabile è una superficie di Riemann. Più in generale, tale teorema mi garantisce che ogni superficie riemanniana ammette un atlante con funzioni di transizione olomorfe o antiolomorfe.
2- automorfismi. Infatti, i gruppi discreti di biolomorfismi e antibiolomorfismi del piano e del disco (che agiscono in maniera libera e propriamente discontinua) coincidono con i gruppi di discreti di isometrie (liberi e propr. disc.) del piano euclideo e del disco di Poincaré.

Quindi per superfici riemanniane orientabili, posso dedurre TUR' da TUR. Mi chiedevo se, considerando anche i quozienti sui gruppi discreti di antibiolomorfismi, potevo estendere questo risultato anche per superfici riemanniane non orientabili.

Attenzione: so già che tali quozienti sono superfici riemanniane non orientabili, quello che mi sto chiedendo è il viceversa.

Tale dubbio mi è venuto in quanto nella pagina di Wikipedia si parla anche di nastri di moebius, piani proiettivi, etc.

Chiedo fonti bibliografiche, suggerimenti, controesempi...

Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto.

[Pappappero]

Ho qualche dubbio di base. Il teorema di uniformizzazione di Riemann classifica le superfici di Riemann semplicemente connesse a meno di biolomorfismi. Si scopre che ci sono solo tre possibilita': la sfera, il piano, il disco aperto.

Ora, una superficie riemanniana e una superficie di Riemann son due cose molto diverse. In particolare una superficie di Riemann, essendo una varieta' complessa, e' sempre orientabile.

Domanda: cosa vuoi classificare?

Anche considerando solo superfici di Riemann, senza l'ipotesi di semplice connessione, la classificazione diventa presto molto complicata. Prova a leggere ad esempio qualcosa sulla classificazione dei tori complessi a meno di biolomorfismi. Se ben ricordo si scopre che le classi di biolomorfismo sono in biiezione con l'insieme delle classi laterali di $SL(2,\mathbb{Z})$ in $SL(2,\mathbb{R})$.

[Oznerol.92]

Scusami, forse volevi scrivere le classi laterali di \(\displaystyle SL(2,\mathbb{Z}) \) in \(\displaystyle SL(2,\mathbb{R}) \)? Questo non lo sapevo, però mi piace .

Comunque si scusami, ho usato in maniera un po' impropria il termine "classificazione". Non intendevo un enunciato del tipo "Ogni superficie di Riemann (abbr. SdR) è equivalente ad un'unica tra queste SdR:..." come per le superfici compatte. Intendevo una cosa del tipo "Ogni SdR è equivalente ad una di queste:...".

Per spiegarmi meglio, oltre a Wikipedia cito il paragrafo di Beardon di "Topics on Riemann Surfaces and Fuchsian Groups"

If a Riemann surface is homeomorphic to a sphere then it is conformally equivalent to the Riemann sphere. Any Riemann surface \(\displaystyle R \) that is not homeomorphic to a sphere is conformally equivalent to a quotient of the form \(\displaystyle \mathbb {C}/G \), or \(\displaystyle \mathbb{H} /G \), where \(\displaystyle G \) is a discrete group of conformal isometries acting without fixed points on \(\displaystyle \mathbb{C} \), or on \(\displaystyle \mathbb{H} \). Further, \(\displaystyle G \) is isomorphic to the fundamental group of \(\displaystyle R \).

Quindi tramite il rivestimento universale siamo in grado di classificare tutte le varietà studiando i morfismi delle varietà semplicemente connesse. Infatti, il rivestimento universale eredita la stessa struttura di varietà dello spazio rivestito. A strutture diverse corrispondono azioni di gruppi di trasformazioni diversi. Nel caso della sfera, del piano, e del disco, la cosa interessante è che:

1. Queste superfici sono sia superfici di Riemann che superfici riemanniane: In particolare, consideriamo il piano euclideo, la sfera immersa in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) (se preferisci, embedded), e il disco di Poincaré. Siccome queste superfici hanno coordinate isoterme, possiamo identificare le trasformazioni conformi con i biolomorfismi e gli antibiolomorfismi.

2. I gruppi discreti di trasformazioni conformi che agiscono in maniera libera e propriamente discontinua (io considero la definizione di "Tipo C" scritta qui http://mathoverflow.net/questions/55726 ... ous-action), coincidono con i gruppi discreti che agiscono in maniera libera e propriamente discontinua di isometrie.

Si è vero che le superfici di Riemann e le superfici riemanniane sono oggetti diversi, infatti quello che io vorrei fare è un'uniformizzazione conforme delle superfici riemanniane, sfruttando il binomio "teorema di uniformizzazione"+"teorema di esistenza di coordinate isoterme". Diciamo che posso risolvere la questione con un'argomentazione meramente topologica.

Domanda: Esistono superfici non orientabili semplicemente connesse?

Credo che ogni superficie non orientabile abbia un rivestimento orientabile di grado 2, ma non so dove cercare, o come si dimostra. Chi mi aiuta?

Eventuali critiche, domande, o precisazioni, sono ben accette .

[Pappappero]

Ho corretto gli $SL$ nel post precedente. Grazie...

Per il resto:

Ogni varieta' semplicemente connessa e' orientabile.

Una dimostrazione dell'esistenza del rivestimento orientabile a due fogli e' nel testo Algebraic Topology di Hatcher, poco prima della dualita' di Poincare' (non ho il libro sotto mano, ma e' online sul sito di Hatcher).

La classificazione dei tori complessi passa proprio per la classificazione dei sottogruppi discreti di automorfismi di $\mathbb{C}$. C'e' un testo di Vesentini ("Capitoli scelti della teoria delle funzioni olomorfe") in cui se ne parla abbastanza approfonditamente.

Per il resto, le mie basi di geometrica riemanniana non sono particolarmente forti e dovrei guardarmi un po' meglio il resto prima di poter suggerire qualcosa.

[Oznerol.92]

Grazie