Cubi

[GioMic]

Sia C un cubo di volume 8203 m^3 ed r una retta che interseca il C passando per uno dei suoi vertici e il centro. Sia K il cubo simmetrico al cubo C rispetto ad r. Si calcoli il volume di C intersecato a K.

[robbstark]

Sbaglio o K coincide esattamente con C?
EDIT: Rimangio quello che ho detto

[orsoulx]

Se immagino bene, cosa di cui non sono affatto certo, dovrebbe essere:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

tre quarti del volume di C.

Ma, allora, il valore numerico fornito sarebbe una cattiveria.
Ciao

[dan95]

La retta passa per una delle diagonali?

[GioMic]

Io ho pensato che se r passa per un vertice e una diagonale allora r è una specie di diagonale.

[GioMic]

Si, in effetti @orsoulx il risultato giusto è 3/4 C

[Erasmus_First]

Se immagino bene, cosa di cui non sono affatto certo, dovrebbe essere:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

tre quarti del volume di C.

Ma, allora, il valore numerico fornito sarebbe una cattiveria.

Credevo d'aver "postato" ieri: ma non vedo il mio "post", e allora vuol dire che – come m'è successo altre volte – sono uscito dopo aver provato l'anteprima senza "cliccare" su <Invia>.

La retta r è il prolungamento d'una diagonale del cubo (di estremi due vertici "opposti", alla massima distanza uno dall'altro).

Ieri chiedevo:
• a GioMic se, dicendo «Sia K il cubo simmetrico al cubo C rispetto ad r» intendeva che K si ottiene da C con una rotazione di mezzo angolo giro attorno ad r;
• ad orsoulx che cosa immaginava (di cui non era certo se fosse giusto o no) e perché un volume 8023 sarebbe una cattiveria.
[Come faccio, non dico a sapere, ma soltanto ad immaginare con che procedimento è arrivato a dire che la soluzione è 3/4 ?]
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Supposto dunque che il cubo K sia il ruotato di C attorno ad r di mezzo giro, anch'io trovo che l'intersezione di K e C è 3/4 del volume di ciascuno. Ma non capisco che c'entra il fatto che il volume di C è 8023 !!!
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Dico come ho fatto.
Assumo 1 la lunghezza degli spigoli dei due cubi, e quindi 1 anche il loro volume.
La diagonale è allora lunga $sqrt3$.
Considero un fascio di piani paralleli ortogonali alla retta r (che è il prolungamento di una diagonale).
Uno di questi piani taglia i due cubi in rispettivi poligoni che sono uno il ruotato dell'altro di mezzo giro.Il poligono di intersezione è sempre un esagono regolare di lato dipendente dalla distanza del piano secante dagli estremi della diagonale.Trovato come varia l'area di questo esagono in funzione della distanza x da uno degli estremi della diagonale, non resta che integrare in $dx$ da $x=0$ a $x=sqrt3/2$ e infine moltiplicare per 2.
Per $x$ tra 0 e $sqrt3/3$ l'lntersezione del piano secante con un cubo è un triangolo il cui lato cresce linearmente con $x$ e l'area dell'esagono intersezione dei due triangoli (che è 2/3 dell'area di ciascuno) è proporzionale ad $x^2$.
Fatti i conti, l'esagono intersezione ha area $sqrt3x^2$.
Integrando in $dx$ per $x$ tra 0 e $sqrt3/3$ si trova 1/9. Altrettanto si troverà per $x$ tra $2sqrt3/3$ e 1.
Superato un terzo di diagonale (cioè $x = sqrt3/3$) e fino a due terzi della diagonale, il piano ortogonale secante taglia un cubo in un esagono icon i lati variabili. Il perimetro di questo è costante e vale $3sqrt2$.Un lato è proporzionale ad $x - sqrt3/3$ ed l'altro lato è la differenza tra la diagonale di una faccia del cubo (che è lunga $sqrt2$) ed il precedente lato.
L'intersezione dei due esagoni è un esagono regolare con il lato che varia linearmente con $x$ (da $sqrt2/3$ per $x=sqrt3/3$ a $sqrt2/2$ per $x=sqrt3/2$).
Fatti i conti, l'area dell'esagono intersezione risulta $sqrt3x^2$.
Integrando in $dx$ per $x$ tra $sqrt3/3$ e $sqrt3/2$ si trova 19/72. Altrettando si troverà per $x$ tra $sqrt3/2$ e $2sqrt3/3$.
Il volume dell'intersezione è pertanto $2(1/9 +19/72) = 2/9 + 19/36 = (8+19)/36 = 27/36 = 3/4$.
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P.S.
[Edito per correggere errori di battitura e per aggiungere ...].
Detta x la distanza del piano secante ortogonale alla retta [prolungamento di una diagfonale], per $0 ≤ x ≤ sqrt3/2$ (cioè da un vertice al centro del cubo), l'area dell'intersezione delle sezioni dei cubi C e K vale $sqrt3 ·x^2$.
E' allora inutile distinguere il primo terzo di diagonale ( di lunghezza $sqrt3/3$, tratto in cui il piano secante taglia un cubo in un triangolo) dal secondo tratto nel quale la sezione è esagonale (ad esagono irregolare di perimetro costante).
Integrando $sqrt/3 ·x^2$ in $dx$ tra 0 e $sqrt3/2$ s e quindi raddoppiando (per considerare anche il tratto dal centro all'altro vertice estremo della diagonale) si trova il volume V dell'intersezione dei due cubi.
$V = 2·(sqrt3 · (sqrt3/2)^3)/3 = 3/4$

Il solido intersezione dei due cubi (supposti di spigoli lunghi 1), come giustamente ha "immaginato" orsoulx, è costituito da due piramidi uguali e contrapposte, con basi esagonalli regolari di lato $sqrt2/2$ e con altezza mezza diagonale, cioè $sqrt3/2$.
Il volume di una tale "bi-piramide" è proprio $V = 1/3[6(sqrt2/2)^2sqrt3/4]sqrt3 = 3/4$.

[orsoulx]

...ma soltanto ad mmaginare con che procedimento è arrivato a dire che la soluzione è 3/4 ?

Lungi da me il desiderio di lasciarti con atroci dubbi in merito a quel che ho postato.
Ho risolto il problema a mente, dopo aver immaginato il solido risultante: due piramidi regolari esagonali contrapposte con la base in comune, avente per vertici (diciamo V e V') gli estremi della diagonale di C appartenente a r ed i sei punti medi degli spigoli di C non uscenti da quei due punti.. Mi son domandato come un bravo falegname potesse ricavarlo da un cubo di legno e mi ha sorpreso scoprire che sarebbero bastati sei tagli piani, eseguiti con la sega a nastro. Ciascun taglio 'smussa' uno degli spigoli di C uscenti da V o da V', asportando un tetraedro trirettangolo, i cui spigoli perpendicolari misurano l, l/2 ed l/2, dove l è la misura dello spigolo di C. Dunque considerando, arbitrariamente, l=2, il volume di ciascuna piramide misurerà 1/3. Il volume complessivo delle sei piramidi sarà 2 ed, essendo 8 il volume del cubo iniziale, il volume del solido rimanente è i 6/8=3/4 di quello.
Essendo un po' arrugginito, non mi fido molto delle mie residue capacità di visualizzazione spaziale ed ho postato il risultato nella forma dubitativa che hai letto; anche perché il valore numerico proposto mi pareva del tutto inutile e parzialmente fuorviante (una persona di buon cuore avrebbe, a mio avviso, utilizzato il cubo di un numero pari). Quando poi ho fatto il disegno e mi son reso conto di non aver sbagliato, non ho ritenuto opportuno comunicare l'aumentata consapevolezza.
Ciao
PS Può essere interessante notare che, per essere le dodici facce del solido risultante equidistanti dal centro del cubo, anche il rapporto fra le superfici totali è 3/4.