orsoulx ha scritto:Se immagino bene, cosa di cui non sono affatto certo, dovrebbe essere:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
tre quarti del volume di C.
Ma, allora, il valore numerico fornito sarebbe una cattiveria.
Credevo d'aver "
postato" ieri: ma non vedo il mio
"post", e allora vuol dire che – come m'è successo altre volte – sono uscito dopo aver provato l'anteprima senza "cliccare" su <Invia>.
La retta r è il prolungamento d'una diagonale del cubo (di estremi due vertici "opposti", alla massima distanza uno dall'altro).
Ieri chiedevo:
• a
GioMic se, dicendo
«Sia K il cubo simmetrico al cubo C rispetto ad r» intendeva che K si ottiene da C con una rotazione di mezzo angolo giro attorno ad r;
• ad
orsoulx che cosa immaginava (di cui non era certo se fosse giusto o no) e perché un volume 8023 sarebbe una cattiveria.
[Come faccio, non dico a sapere, ma soltanto ad immaginare con che procedimento è arrivato a dire che la soluzione è 3/4 ?]
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Supposto dunque che il cubo K sia il ruotato di C attorno ad r di mezzo giro, anch'io trovo che l'intersezione di K e C è 3/4 del volume di ciascuno. Ma non capisco che c'entra il fatto che il volume di C è 8023 !!!
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Dico come ho fatto.
Assumo 1 la lunghezza degli spigoli dei due cubi, e quindi 1 anche il loro volume.
La diagonale è allora lunga $sqrt3$.
Considero un fascio di piani paralleli ortogonali alla retta r (che è il prolungamento di una diagonale).
Uno di questi piani taglia i due cubi in rispettivi poligoni che sono uno il ruotato dell'altro di mezzo giro.Il poligono di intersezione è sempre un esagono regolare di lato dipendente dalla distanza del piano secante dagli estremi della diagonale.Trovato come varia l'area di questo esagono in funzione della distanza x da uno degli estremi della diagonale, non resta che integrare in $dx$ da $x=0$ a $x=sqrt3/2$ e infine moltiplicare per 2.
Per $x$ tra 0 e $sqrt3/3$ l'lntersezione del piano secante con un cubo è un triangolo il cui lato cresce linearmente con $x$ e l'area dell'esagono intersezione dei due triangoli (che è 2/3 dell'area di ciascuno) è proporzionale ad $x^2$.
Fatti i conti, l'esagono intersezione ha area $sqrt3x^2$.
Integrando in $dx$ per $x$ tra 0 e $sqrt3/3$ si trova 1/9. Altrettanto si troverà per $x$ tra $2sqrt3/3$ e 1.
Superato un terzo di diagonale (cioè $x = sqrt3/3$) e fino a due terzi della diagonale, il piano ortogonale secante taglia un cubo in un esagono icon i lati variabili. Il perimetro di questo è costante e vale $3sqrt2$.Un lato è proporzionale ad $x - sqrt3/3$ ed l'altro lato è la differenza tra la diagonale di una faccia del cubo (che è lunga $sqrt2$) ed il precedente lato.
L'intersezione dei due esagoni è un esagono regolare con il lato che varia linearmente con $x$ (da $sqrt2/3$ per $x=sqrt3/3$ a $sqrt2/2$ per $x=sqrt3/2$).
Fatti i conti, l'area dell'esagono intersezione risulta $sqrt3x^2$.
Integrando in $dx$ per $x$ tra $sqrt3/3$ e $sqrt3/2$ si trova 19/72. Altrettando si troverà per $x$ tra $sqrt3/2$ e $2sqrt3/3$.
Il volume dell'intersezione è pertanto $2(1/9 +19/72) = 2/9 + 19/36 = (8+19)/36 = 27/36 = 3/4$.
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P.S.
[Edito per correggere errori di battitura e per aggiungere ...].
Detta x la distanza del piano secante ortogonale alla retta [prolungamento di una diagfonale], per $0 ≤ x ≤ sqrt3/2$ (cioè da un vertice al centro del cubo), l'area dell'intersezione delle sezioni dei cubi C e K vale $sqrt3 ·x^2$.
E' allora inutile distinguere il primo terzo di diagonale ( di lunghezza $sqrt3/3$, tratto in cui il piano secante taglia un cubo in un triangolo) dal secondo tratto nel quale la sezione è esagonale (ad esagono irregolare di perimetro costante).
Integrando $sqrt/3 ·x^2$ in $dx$ tra 0 e $sqrt3/2$ s e quindi raddoppiando (per considerare anche il tratto dal centro all'altro vertice estremo della diagonale) si trova il volume V dell'intersezione dei due cubi.
$V = 2·(sqrt3 · (sqrt3/2)^3)/3 = 3/4$
Il solido intersezione dei due cubi (supposti di spigoli lunghi 1), come giustamente ha "immaginato"
orsoulx, è costituito da due piramidi uguali e contrapposte, con basi esagonalli regolari di lato $sqrt2/2$ e con altezza mezza diagonale, cioè $sqrt3/2$.
Il volume di una tale "bi-piramide" è proprio $V = 1/3[6(sqrt2/2)^2sqrt3/4]sqrt3 = 3/4$.