Curve differenziali

[anto84gr]

Ciao a tutti e grazie in anticipo a chi può aiutarmi. Il titolo dell'esercizio è il seguente: trovare un punto della curva $\alpha(t)=(t, -t, t^4)$ in cui il vettore binormale è parallelo al vettore di coordinate $(1, 1, 0)$.

Io ho provato così:
il campo binormale è parallelo al campo di velocità x campo di accelerazione, quindi il vettore binormale è $b(t)=(1, -1, 4t^3) X (0, 0, 12t^2)= (-12t^2, -12t^2, 0)$. Ora per far sì che sia parallelo al vettore dato, il prodotto vettoriale dovrà essere 0, quindi $(-12t^2, -12t^2, 0) X (1, 1, 0)=(0, 0, 0)$ cioè parallelo.

Quello che mi chiedo è? Il punto della curva che mi viene chiesto è $(-12t^2, -12t^2, 0)$?

[anto84gr]

Nessuno che mi dica almeno se il procedimento è giusto? Per favore

[vict85]

Io avrei calcolato effettivamente vettore tangente, normale e quindi binormale. Comunque dato che ti serve solo il parallelismo potrebbe andare bene lo stesso.

Comunque quello è un vettore parallelo al vettore binormale, quindi non è certo un punto.

[anto84gr]

Ho dimenticato un pezzo scusate :
Dopo aver trovato il vettore binormale, $B=\pm (-12t^2, -12t^2, 0)/sqrt(288t^4)=\pm (-3/sqrt3, -3/sqrt3, 0)$.
Quindi per la condizione di parallelismo il prodotto vettoriale deve risultare nullo. Infatti $\pm (-3/sqrt3, -3/sqrt3, 0) X (1, 1, 0) = (0, 0, 0)$ ed il punto da trovare risulta quindi essere $(-3/sqrt3, -3/sqrt3, 0)$.

[vict85]

Quello continua ad essere il vettore binormale, non un punto. Il punto lo trovi inserendo il \(t\) trovato dentro \(\alpha\). Siccome però il vettore binormale non risulta dipendente dal tempo ed è sempre parallelo al vettore dato allora ogni punto della curva va bene.

[anto84gr]

Quindi una volta fatto vedere che è sempre parallelo, basta che dica che ogni punto della curva va bene?

[vict85]

si è così.

[anto84gr]

Ok grazie!