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1) Sia $f:RR^2 -> RR$ tale che $f(A)+f(B)+f(C)+f(D) = 0$ per ogni $\{A,B,C,D\}$ vertici di un quadrato.
Possiamo dedurre che $f(P) = 0$ per ogni $P in RR^2$?

2) Stessa domanda se invece vale la relazione $f(A)+f(B)+f(C) = 0$ per ogni $\{A,B,C\}$ vertici di un triangolo equilatero.

3) Cosa si può dire in caso di relazioni analoghe definite su altri poligoni regolari?

Se \(\displaystyle f\) è continua, la risposta è sì!

Sono perfettamente d'accordo con te, ma non ho detto che $f$ è continua

Bel problema! Ho un'idea che mi piace parecchio ma non riesco a trovare il tempo di formalizzare bene il tutto.

Un dato quadrato corrisponde a un'equazione omogenea con quattro incognite, x+y+z+w=0, e ogni quadrato corrisponde a una tale equazione. Se disegnamo un punto all'interno di questo quadrato generiamo 9 incognite (le quattro di prima, questo al centro e le quattro proiezioni del punto centrale sui lati) e 5 equazioni (5 quadrati), se ora disegnamo un punto all'interno di ognuno dei quattro quadratini e proiettiamo tutto come sopra otteniamo 25 incognite e 30 equazioni (quindi siamo in affari perché abbiamo più equazioni che incognite). Le equazioni sono tutte del tipo x_a + x_b + x_c + x_d = 0. Per concludere si tratta di mostrare (se è vero) che il rango del sistema di equazioni risultante è massimo.

Mi ero scordato del quadrato diagonale!

Dato un punto \( \displaystyle x \) del piano facciamo il seguente disegno. Ogni quadrato corrisponde a un'equazione. Quindi abbiamo nove incognite e sei equazioni. Se risolviamo il sistema con Wolfram Alpha troviamo \( \displaystyle f(x)=0 \) (non so cosa succede se lo risolviamo a mano)

A proposito dove l'hai pescato questo problema? Puoi dare una fonte?

Funziona anche per il triangolo equilatero, il disegno è questo:

Complimenti, sono sostanzialmente equivalenti alle soluzioni che avevo pensato io, solo che ho risolto i sistemi a mano.
Per il quadrato, se sommo i valori della funzione nei vertici dei quattro quadratini (per brevità indico $f(a)$ semplicemente con $a$):
$(a+h+x+e)+(h+d+g+x)+(g+c+f+x)+(b+e+x+f)=0$
$(a+b+c+d) + 2(e+f+g+h) + 4x = 0$
ed essendo $abcd$ ed $efgh$ dei quadrati, resta $x=0$.
Analogamente per il triangolo equilatero, se si sommano i valori in tutti i vertici dei triangolini, ciascun vertice dell'esagono viene sommato 2 volte, mentre il centro 6 volte.

Idea per il caso generale (non dimostrazione):


La fonte non la so, la parte del quadrato mi è stata proposta da un amico, che probabilmente lo ha letto su qualche altro forum. L'estensione ad altri poligoni è stata una mia curiosità.

Eccola qui la fonte ! E rimanda a questo per quanto riguarda i poligoni regolari generici.

L'ho trovata qui.

Interessante, adesso sappiamo la risposta nel caso generale. E l'ultima fonte fornisce un aiuto che potrebbe rivelarsi utile.