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Dunque, ho un dubbio sulla formulazione del problema e ho qualche idea sparsa da mettere a posto. Mi date una mano, per piacere?

Anzitutto, che vuol dire formula di rappresentazione? Scrivere esplicitamente la soluzione? Oppure si intende solo trovare una relazione, una uguaglianza, soddisfatta dalla soluzione?

Ora qualche idea mia: io non ho mai affrontato un problema del genere. Ho visto in un corso la soluzione per il problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore omogenea, ma non ho mai affrontato problemi con condizioni al bordo sulle derivate.
Comunque, stasera mi sono messo lì e ho fatto un po' di conti. Ho usato il metodo di separazione delle variabili: cerchiamo soluzioni della forma fattorizzata $u(t,x)=\phi(t)\psi(x)$ dove $phi(cdot)$ e $psi(cdot)$ sono funzioni regolari, con \( \displaystyle \psi '(0)=\psi '(\pi)=0 \) .

Comincio a risolvere il problema ai limiti relativo a $\psi$: è un classico problema di Sturm-Liouville del secondo ordine, lo si può risolvere esplicitamente (ometto i conti per ora, al massimo li inserisco alla fine, quando avremo risolto tutto). Gli autovalori del problema sono $\lambda_n=-n^2$ e le corrispondenti autofunzioni sono date da $\psi_n(x)=Acos(nx)$, con $n \in \mathbb N$.

A questo punto risolvo l'equazione in $\phi$ e trovo $\phi(t)=\phi(0)e^{-n^2t}$. In sostanza, ricomponendo tutto quanto, trovo che le funzioni
\[
u_n(t,x)=c\cos{(nx)}e^{-n^2t}
\]
sono soluzioni del problema $(P)$.

E adesso? [Da qui in poi seguo l'ispirazione poetica, sono davvero perplesso su quanto ho fatto ] In una parola, quello che ho fatto è usare il "principio di sovrapposizione". Siccome l'equazione del calore è lineare anche la
\[
u(t,x):=\sum_{n=0}^{\infty} c_n u_n(t,x)
\]
(per un'opportuna scelta dei coefficienti $c_n$) è soluzione di $(P)$. In particolare, i $c_n$ devono essere tali da garantire la buona regolarità di $u$ (e, in particolare, la convergenza uniforme su $[0,\pi]\times (0,+\infty)$). Uno allora dà un'occhiata alla tesi e si fa venire in mente: e se prendessimo come $c_n$ i coefficienti di Fourier di $u(0,x)$?
Sì, insomma, lo spazio funzionale di cui parla il testo potrebbe benissimo essere il classico $L^2(0,\pi)$, quindi... Però che sistema ortogonale prendo?

La scelta dei coefficienti di Fourier dovrebbe andare bene per le questioni di regolarità e di convergenza di cui dicevo sopra (mi pare che sia un procedimento abbastanza standard: dietro tutto c'è la regolarità di $u(0,x)$ e la disuguaglianza di Bessel). Però non so bene come concludere, sono fermo. Sinceramente, non credo manchi molto alla conclusione, forse solo qualche passaggio al limite sotto il segno di integrale...

Considera il sistema ortonormale:
\[
\phi_n (x) := \begin{cases}
\frac{1}{\pi} & \text{, se } n=0\\
\frac{2}{\pi}\ \cos (n x) &\text{, se } n\geq 1
\end{cases}
\]
il quale è completo in \(L^2(0,\pi )\) (essenzialmente, esso è ortogonale e completo in \(L_{\text{pari}}^2 (-\pi,\pi)\) ed ogni funzione di \(L^2 (0,\pi)\) si può prolungare in maniera pari a \((-\pi,\pi)\)); inoltre è evidentissimo che \(\phi_n \in L^\infty (0,\pi)\) e che risulta:
\[
\| \phi_n\|_{L^\infty (0,\pi)} \leq \frac{2}{\pi}\; .
\]
Quindi se \(u_0(x):=u(0,t)\) è in \(L^2(0,\pi)\) si può scrivere:
\[
u_0(x)= \sum_{n=0}^\infty d_n\ \phi_n(x)
\]
con:
\[
d_n := \int_0^\pi u_0(x)\ \phi_n (x)\ \text{d} x
\]
ed in particolare risulta:
\[
d_0= \frac{1}{\pi}\ \int_0^\pi u_0(x)\ \text{d} x =: \bar{u}_0\; .
\]
Ciò importa che la funzione:
\[
u(x,t):=\sum_{n=0}^\infty d_n\ \phi_n(x)\ e^{-n^2t} = \bar{u}_0 + \sum_{n=1}^\infty d_n\ \phi_n(x)\ e^{-n^2t}
\]
risolve la PDE con le condizioni al contorno assegnate ed in più \(u(x,0)=u_0(x)\).

Ne consegue che, per \(t>0\), si ha:
\[
\begin{split}
|u(x,t)-\bar{u}_0| &= \left| \sum_{n=1}^\infty d_n\ \phi_n (x)\ e^{-n^2t}\right| \\
&\leq \sum_{n=1}^\infty |d_n|\ |\phi_n (x)|\ e^{-n^2t}\\
&\leq \frac{2}{\pi}\ \sum_{n=1}^\infty |d_n|\ e^{-n^2t}\\
&\stackrel{\text{C-S}}{\leq} \frac{2}{\pi}\ \sqrt{\sum_{n=1}^\infty |d_n|^2}\ \sqrt{ \sum_{n=1}^\infty e^{-2n^2t}}\\
&= \frac{2}{\pi}\ \| u_0-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}\ \sqrt{ \sum_{n=1}^\infty e^{-2n^2t}}
\end{split}
\]
e dunque, prendendo i quadrati dei membri esterni ed integrando rispetto a \(x\in (0,\pi)\), si trova:
\[
\| u(\cdot ,t)-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}^2 \leq \frac{4}{\pi}\ \| u_0-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}^2\ \sum_{n=1}^\infty e^{-2n^2t}\; ;
\]
visto che \(e^{-2n^2t}\leq e^{-2nt}\), la precedente implica:
\[
\begin{split}
\| u(\cdot ,t)-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}^2 &\leq \frac{4}{\pi}\ \| u_0-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}^2\ \sum_{n=1}^\infty e^{-2nt}\\
&= \frac{4}{\pi}\ \| u_0-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}^2\ \frac{e^{-2t}}{1-e^{-2t}}
\end{split}
\]
ossia:
\[
\tag{S} \| u(\cdot ,t)-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)} \leq \frac{2}{\sqrt{\pi}}\ \| u_0-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)}\ \frac{e^{-t}}{\sqrt{1-e^{-2t}}}\; .
\]
La stima (S) evidentemente implica che, al crescere di \(t\), si ha \(\| u(\cdot ,t)-\bar{u}_0\|_{L^2(0,\pi)} \to 0\) esponenzialmente; quindi che l'applicazione \(]0,\infty[\ni t\mapsto u(\cdot ,t) \in L^2(0,\pi)\) tende verso la funzione costante \(\bar{u}_0\) (in media quadratica, ovviamente) quando \(t\to \infty\).