Funziona a tratti sì ed a tratti no!

[j18eos]

Definire una funzione biettiva da \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (l'insieme dei numeri reali tranne \(\displaystyle0\)) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\).

Indizio.

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La funzione logaritmo è biettiva da \(\displaystyle\mathbb{R}^{+}\setminus\{0\}\) (l'insieme dei numeri reali positivi non nulli) ad \(\displaystyle\mathbb{R}\)!

[Gi8]

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$f(x)= {(x, \quad \text{ se } x<0),(x, \quad \text{ se } x>0 ^^ x notin NN),(x-1, \quad \text{ se } x>0 ^^ x in NN):}$

In pratica $f(x)=x$ su tutto $RR \setminus {0}$ tranne che negli interi positivi, dove si ha $f(x)= x-1$.
Quindi $f(1)=0$, $f(2)=1$, ...

[j18eos]

"Certe volte: troppa matematica fa male." Un mio docente, ma non ricordo chi!?

Vediamo se ci sono altre soluzioni, così giusto per sbizzarrire qualcun altro\n'altra.

[Pachisi]

Forse sbaglio, ma non andrebbe bene anche $ f(x)=1/x $, dove $ x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ?

[j18eos]

Eh no!, non esiste un numero reale \(\displaystyle x\) tale che \(\displaystyle\frac{1}{x}=0\)!

[Pachisi]

Giustissimo...
Infatti, appena me ne sono accorto, sono venuto per cancellare il messaggio...ma hai fatto prima te.

[kobeilprofeta]

E $log|x|$?

[Rigel]

E $log|x|$?

Non è una funzione iniettiva.
Di fatto, a meno di "isomorfismi", direi che la soluzione di Gi8 è essenzialmente l'unica possibile.

[j18eos]

@kobeilprofeta Quella è una funzione suriettiva ma non iniettiva, però io ho iniziato a ragionare da quella per arrivare alla mia soluzione!

@Rigel La mia soluzione non ha "punti isolati", quindi i tuoi "isomorfismi" sono un pò troppo stretti di manica.

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Non mi piace parlare di bi-\epi-\iso-\mono-\o- morfismi in questa stanza...

[Gi8]

La mia soluzione non ha "punti isolati"

Interessante, sono proprio curioso

Nel frattempo propongo un rilancio:
trovare, se esiste, una funzione biiettiva da $RR setminus ZZ$ in $RR$