«Dato un poligono regolare, quanto vale il prodotto delle distanze di un vertice da tutti gli altri?»
Si tratta di un vecchio quiz che suppongo sia già circolato qui in "Matematicamente".
Detti r il raggio del cerchio circoscritto ed n il numero di lati, la risposta è
$n·r^(n–1)$
(come si trova ... "sperimentalmente" provando per r = 1 ed n = 3, 4, 5, 6; e con opportuno programmino ad hoc anche per altri n ...a piacere).
Confesso, però, di non essere [per ora!] riuscito a dimostrare "teoricamente" il risultato in generale (per n indeterminato).
Posto (per comodità) unitario il raggio del cerchio circoscritto e detto n il numero di lati, risulta subito che il cercato prodotto è:
P(n) = [2^(n-1)]·<prodotto, per k da 1 a n -1, di sin(kπ/n)>. (*)
Evidentemente il succo del quiz sta nel calcolare, in generale, (per ogni n intero maggiore di 2), il prodotto
n-1
∏ sin(kπ/n) .
k=1
Come ho detto, se si prova per n = 3, 4, 5 e 6, il prodotto (*) dà sorprendentemente:
P( 3) = 3; P(4) = 4; P(5) = 5; P(6)=6.
Allora viene il sospetto che in generale sia proprio P(n) = n.
E questo risultato mi è confermato "sperimentalmente" per qualsiasi n dal programma "Grapher" (per APPLE in OS X).
Qualcuno sa dimostrare "teoricamente" che è proprio così?
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