Confutare o dimostrare

[theras]

$root(3)(a-sqrt(a^2+1))+root(3)(a+sqrt(a^2+1))=1" "AAa in RR$.
Saluti dal web.

[Pachisi]

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E` falsa. Basta porre $a=0$.

[xXStephXx]

Forse è valido per un solo valore di $a$, lo si trova elevando al cubo.

[Pachisi]

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Quel valore e` $a=2$.

[vict85]

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Pongo:
\(\displaystyle f = \sqrt{a^2 + 1}\)
\(\displaystyle g = \sqrt[3]{a - f(a)} \)
allora \(\displaystyle f(-a) = f(a) \ge 0 \) e \(\displaystyle \sqrt[3]{a + f(a)} = -\sqrt[3]{-a - f(a)} = -\sqrt[3]{-a - f(-a)} = -g(-a) \).

Pongo infine \(\displaystyle G = g(a) -g(-a) \). Si vuole trovare \(\displaystyle G(a) = 1 \).

È evidente che \(\displaystyle G(-a) = g(-a) - g(a) = -\bigl[ g(a) -g(-a) \bigr] = -G(a) \). Cosa che fornisce una seconda dimostrazione del fatto che non possa aversi \(\displaystyle \forall a\in\mathbb{R},\, G(a) = 1 \).

Notiamo che la radice cubica manda \(\displaystyle \mathbb{R} \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \) iniettivamente e che \(\displaystyle \lvert a\rvert < f(a) \) per ogni \(\displaystyle a \). Perciò \(\displaystyle g(a) \le 0 \) per ogni \(\displaystyle a \) ed è monotona crescente da \(\displaystyle -\infty \) a \(\displaystyle 0 \) (per una dimostrazione si può per esempio derivare ciò che c'è all'interno della radice quadrata). Similemente \(\displaystyle -g(-a) \) è monotona crescente e sempre positiva. A questo punto si vede facilmente che la loro somma è anch'essa monotona crescente (quindi iniettiva) e che va da \(\displaystyle -\infty \) a \(\displaystyle +\infty \) .

Tutto questo per dire che \(\displaystyle G(a) = 1 \) è senza dubbio vero per un solo \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \).

[theras]

Ragazzi,avete anticipato le considerazioni cui,piu' lentamente,volevo arrivare:
lo spunto era stato un quesito dei giochi di Archimede 2006 del quale ho parlato con una collega!
Per completezza,ad ogni modo,mettiamola così:
provare,con mezzi a disposizione al termine del I° biennio delle scuole superiori,che quell'uguaglianza è vera allora e solo quando $a=2$.
Saluti dal web.

[renatino]

$(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$
\(\displaystyle (\sqrt[3]{a-\sqrt{a^2+1}} + \sqrt[3]{a+\sqrt{a^2+1}})^3=( \sqrt[3]{a-\sqrt{a^2+1}})^3+( \sqrt[3]{a+\sqrt{a^2+1}})^3++3( \sqrt[3]{a-\sqrt{a^2+1}})( \sqrt[3]{a+\sqrt{a^2+1}})\cdot(1)=2a+3\sqrt[3]{a^2-a^2-1}\cdot (1)=2a-3\)

\(\displaystyle 2a-3=1->a=2 \)