Esercizi delle olimpiadi

[L'Innominato]

Salve vi propongo alcuni esercizi delle olimpiadi di matematica che ho svolto.

I 13 nani della compagnia di thorin entrano,uno alla volta,a casa di bilbo, il quale li fa accomodare alla sua grande tavola rotonda che ha proprio 13 posti.Per primo entra Thorin, e poi seguono gli altri 12 in rigoroso ordine di età, dal più vecchio al più giovane.Thorin si siede in un posto qualsiasi, e ogni altro nano si siede sempre vicino a qualcuno che è già arrivato. In quanti modi si possono disporre i nani, contando una volta sola le configurazioni uguali a meno di rotazioni della tavola?


Come è noto, per comodità , gli orchi contano in base 238.Qual è il più grande fattore primo del numero orchesco 143?Dare la risposta in base 10


Gandalf, Bilbo e Thorin si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo, in cui l'angolo retto è costituito da Gandalf; quest'ultimo dista 6960 metri da Bilbo e 7308 metri da Thorin.La Montagna Solitaria si trova alla stessa distanza da Bilbo e Thorin, e la sua vetta dista 5046 metri da Gandalf.Quanto è alta al massimo la montagna?


e il più difficile


Bilbo e i suoi compagni si trovano finalmente davanti alla porta segreta della Montagna Solitaria;tuttavia c'è solo un modo per superarla.Detta F una funzione dall'insieme degli interi positivi all'insieme degli interi positivi tale che
- F(n)=n-F(F(n-1)) per ogni n>1;
- F(1) è dispari

La porta si aprirà solo pronunciando ad alta voce il valore F(4198)
Quale numero deve dire Bilbo?

[@melia]

Provo i primi 3, per vedere se sono ancora capace di risolverli.
Primo:

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Thorin può scegliere tra 13 posti, tutti gli altri a seguire, eccetto l'ultimo, hanno 2 possibilità, dovendo essere accanto a qualcuno, dunque la soluzione dovrebbe essere:
$13*2^11 = 13*2048 = 26624$

Secondo:

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$1*238^2 + 4*238 + 3 = 238^2 + 238 + 3*238 + 3 = 238*(238+1) + 3*(238+1) = 239*241$
Si vede che nessuno dei due numeri è divisibile per $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ (quest'ultimo non è necessario), e siccome $17^2 = 289 > 241$, concludiamo che entrambi sono numeri primi.
La risposta è 241.

Terzo:

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Si disegni il triangolo $BGT$.
Sia $M$ il punto medio dell'ipotenusa $BT$. La montagna deve trovarsi sull'asse di $BT$, ovvero sulla perpendicolare a $BT$ passante per $M$.
L'altezza è massima se la distanza orizzontale da $G$ è minima, quindi la montagna si trova nel punto $P$ tale che $GP$ è perpendicolare all'asse di $BT$.
Sia $N$ l'intersezione di detto asse con il cateto $GT$.
Si viene a formare una serie di triangoli rettangoli tutti simili tra loro.
$NT:BT = MT:GT$, $NT:BT = \frac{BT}{2} : GT$
$NT = \frac{BT^2}{2GT} = \frac{BG^2 + GT^2}{2GT}$
$GN = GT - NT = \frac{2GT^2 - BG^2 - GT^2}{2GT} = \frac{GT^2 - BG^2}{2GT}$
$GN:NT = GP:MT$, $GN:NT = GP : \frac{BT}{2}$
$GP = \frac{GN*BT}{2NT} = \frac{GT^2 - BG^2}{BG^2 + GT^2} \frac{ \sqrt{BG^2 + GT^2}}{2} = $
$=\frac{GT^2 - BG^2}{2 \sqrt{BG^2 + GT^2}}$
Sia $C$ la cima della montagna; l'altezza è
$CP = \sqrt{GC^2 - GP^2} = \sqrt{GC^2 - \frac{(GT - BG)^2 (GT + BG)^2}{4 (BG^2 + GT^2) }} = $
$=\sqrt{GC^2 - \frac{(GT - BG)^2 (GT + BG)^2}{2 ((GT - BG)^2 + (GT + BG)^2) }} =$
$= \sqrt{5046^2 - \frac{348^2 * 14268^2}{2 (348^2 + 14268^2) }$}
$348 = 4*3*29$, $14268 = 4*3*29*41$, $5046 = 2*3*29*29$, dunque:
$CP = \sqrt{174^2*29^2 - 4*174^2 \frac{41^2}{2 (1^2 + 41^2) }} = 174 \sqrt{29^2 - \frac{2*41^2}{1+41^2}} = $
$=174 \sqrt{\frac{29^2 + 29^2*41^2 - 2*41^2}{1+41^2}} = 174 \sqrt{\frac{(29+41)(29-41) + 41^2(29^2 -1)}{1+41^2}} =$
$= 174 \sqrt{\frac{-70*12 + 1681*28*30}{1682}} = 174 \sqrt{\frac{7*8*3*5(-1 + 1681)}{1682}} = $
$=174 \sqrt{\frac{7*8*3*5*16*3*5*7}{2*29*29}} = \frac{(29*6)*3*5*7*8}{29} = 9*10*7*8 = 5040$

[kobeilprofeta]

@robb

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per il primo dividerei per 13, dato che debbo considerare tutte le rotazioni

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

messaggio numero 1000.... Mi commuovo

ps: non c'entra un caz*o l'orso, lo metto solo perchè mi piace...

[kobeilprofeta]

Provo l'ultimo, metto un inizio dato che nessuno lo fa

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$F(1)=d$ da cui $F(2)=2-F(d)$. $F(3)=3-F[2-F(d)]$. Devo avere $2-F(d)>0 => -F(d)> -2 => F(d)<2 => F(d)=1$. Riscrivo dunque $F(2)=2-1=1$ e $F(3)=3-F(1)=3-d=3-1=2$ per un ragionamento analogo. Passo a $F(4)=4-F(2)=4-1=3$, provo anche $F(5)=5-F(3)=5-2=3$ e $F(6)=6-F(3)=6-2=4$ e $F(7)=7-F(4)=7-3=4$ e $F(8)=8-F(4)=8-3=5$, $F(9)=9-3=6$, $F(10)=10-4=6$, $F(11)=11-4=7$, $F(12)=12-4=8$.... non trovo però una regolirità precisa, salvo errori.

[RobStam]

Mi risulta che il valore della funzione f(n) aumenta di 13 unità ogni 21 passi. f(4200) = 2600, f(4198) = 2599.
Sulle risposte però risulta una soluzione diversa, 2595. Non capisco dov'è l'errore.
Saluti

[RobStam]

Mi risulta che il valore della funzione f(n) aumenta di 13 unità ogni 21 passi. f(4200) = 2600, f(4198) = 2599.
Sulle risposte però risulta una soluzione diversa, 2595. Non capisco dov'è l'errore.
Saluti

[giammaria]

Io ho notato un'altra regolarità, ma non saprei dimostrarla; l'ho controllata fino a $n=41$.
Detti $q,r$ quoziente e resto di $n:8$, si ha $F(n)=5q+g(r)$. Poiché $r$ può assumere solo 8 valori, la funzione $g(r)$ può facilmente essere data come tabella.
Però in questo modo ottengo $F(4198)=2624$ e non è la risposta ufficiale; inoltre manca la dimostrazione iniziale.
Nei panni di Bilbo pronuncerei al alta voce tutti i numeri da 2590 in poi, fino all'apertura.

[giammaria]

Ritiro la mia risposta: ad un esame più attento non regge.
Miglioro invece quella di RobStam: $F(n)$ è l'arrotondamento ad intero di $13n:21$, ma il suo risultato non cambia. Inoltre anche per lui manca la dimostrazione.

[xXStephXx]

Per qualche strana magia stavo notando che ai numeri di fibonacci viene associato il numero di fibonacci precedente (es: $f(21)=13$)... e $4198$ è abbastanza vicino ad un numero di fibonacci... che strano

[veciorik]

Scusate l'approccio empirico e naive: non sono un matematico e sono appannato da decenni di disuso.
Ho calcolato F(4198)=2595 con un programmino. Si noti che 2595/4198=0.618...
Molti elementi per n<610 valgono F(n)=13n/21 e 13/21=0.619...
Per n crescente F(n)/n approssima 0.618...

Sostituendo xn a F(n) nella definizione ottengo $xn=n-x^2(n-1) \rightarrow (n-1)x^2+nx-n=0$.

Per $n \rightarrow\infty$ ho $x^2+x-1=0$ che dà $x=(sqrt(5)-1)/2$.

Nb: $(sqrt(5)-1)/2=0.6180399...$ è l'inverso della sezione aurea $(1+\sqrt(5))/2=1.6180399...$.