\( p(x^2)= p(x) p(x+1) \)

[j18eos]

Eh no! C'è una ipotesi di comodo...

...D'ora in poi supporremo che $p(x)$ sia un polinomio di grado $n>=1$, e che quindi ammetta esattamente $n$ radici complesse...

Cioè escludi che si possano avere radici multiple, e poi ti trovi polinomi con radici multiple.

[milizia96]

Beh, non ho detto che le $n$ radici devono essere tutte distinte tra loro...
O comunque ho commesso un errore di fondo?

[j18eos]

Ok, allora dovevi scrivere così:

...D'ora in poi supporremo che $ p(x) $ sia un polinomio di grado $ n>=1 $, e che quindi ammetta esattamente $ n $ radici complesse...

Quell'avverbio implica da se che le radici complesse distinte di \(\displaystyle p\) sono \(\displaystyle n\).

[alfredo4]

A parte i casi "banali" $P(x)=0,P(x)=1$, che $P(x) $ debba avere come radici $x=0,x=1$ l'avrei trovato con un ragionamento terra-terra ( e per questo probabilmente lacunoso...).
Esattamente, da $P(x^2)=P(x)P(x+1)$, per $x=0$ si ha : $P(0)=P(0)P(1)$ e da qui risulta:
$P(0)=0$ oppure $P(1)=1$ (caso quest'ultimo già considerato come banale)
Allora per $x=-1$->$P(1)=P(-1)P(0)=P(-1)\cdot0=0$
Resta dunque acquisito che $P(x)$ ha per radici i valori indicati e pertanto possiamo scrivere che :
(a) $P(x)=x(x-1)Q(x) $
dove $Q(x) $ è ora un polinomio di grado $n-2$ essendo $n$ il grado di $P(x)$
Sostituendo nella relazione di partenza ne viene che:
$x^2(x^2-1)Q(x^2)=x(x-1)Q(x)\cdot x(x+1)Q(x+1)$
da cui :
$Q(x^2)=Q(x)Q(x+1)$
Dall'ultima eguaglianza segue che $Q(x)$ è un polinomio con caratteristiche uguali a $P(x)$ e quindi possiamo porre :
(b) $Q(x)=x(x-1)Q_1(x) $, dove $Q_1(x)$ è un polinomio di grado $n-4$
Pertanto la ( a ) diventa:
c) $P(x)=x^2(x-1)^2Q_1(x)$
Procedendo in tal modo si arriva ad un polinomio $P(x)$ dato da :
$P(x)=kx^n(x-1)^n$ con $k $ costante che si determina sostituendo tale formula nella relazione iniziale:
$kx^(2n)(x^2-1)^n=kx^n(x-1)^n\cdot k(x+1)^nx^n$
e da qui l'equazione:
$k^2-k=0$ da cui $k=0$ che porta alla soluzione banale $P(x)=0$ e $k=1$ che porta alla soluzione $P(x)=x^n(x-1)^n$

[Erasmus_First]

Ok, allora dovevi scrivere così:

...D'ora in poi supporremo che $ p(x) $ sia un polinomio di grado $ n>=1 $, e che quindi ammetta esattamente $ n $ radici complesse...

Quell'avverbio implica da se che le radici complesse distinte di \(\displaystyle p\) sono \(\displaystyle n\).

No: quell'avverbio è ... esatto!
E secondo me non è nemmeno superfluo.
Non significa affatto che le n radici devono essere distinte.
Semplicemente ricorda che ogni polinomio di grado n > 1 è pensabile come prodotto di n polinomi di grado 1, ciascuno dei quali ha uno ed uno solo zero.
Eh sì: gli zeri di un polinomio di grado n sono esattamente n.
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