Un torneo impegnativo (Finale Cesenatico 2012)

[Doubleduck]

Prima del XXII torneo Tenkamatici quando Gonioku era ancora inesperto, il maestro Muten e l'eremita della Gru organizzano un minitorneo per tutti i loro allievi. Gli allievi dell'eremita della Gru erano 9 in più di quelli del maestro Muten, tra cui c'era anche Gonioku. Alla fine del minitorneo, nel quale tutte le coppie si scontrarono una volta e non ci furono pareggi, il numero totale delle vittorie ottenute dagli allievi dell'eremita fu esattamente 9 volte il numero delle vittorie degli allievi di Muten. Quanti combattimenti può aver vinto al massimo Gonioku? (Nella risposta usare le prime due cifre per indicare la soluzione nel caso in cui i partecipanti fossero il numero minimo possibile e le ultime due cifre per indicare la soluzione nel caso in cui i partecipanti al torneo fossero il numero massimo possibile.)

[orsoulx]

Evidentemente mi sfugge qualche importante particolare,
Da un lato non è chiarissimo se gli allievi sfigati possano ridursi anche al solo Gonioku, oppure debbano essere più di uno visto che viene usato il plurale.
Dall'altro mi pare che il numero dei contendenti non sia limitato superiormente:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

numero contendenti: $ [5k ; 5k+9], (k>0) $ oppure $ [5k+1 ; 5k+10], (k>=0) $ soddisfano le condizioni come le ho intese.

?
Ciao

[orsoulx]

Non conosco le consuetudini dei tornei fantasy ed ho dato per scontato che

...nel quale tutte le coppie si scontrarono una volta...

riguardasse solamente coppie di scuole contrapposte.
Contando anche i possibili scontri fra allievi della medesima scuola le cose cambiano: non è più possibile il Gonioku solitario, ma continuo a non trovare una limitazione superiore.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Il numero di allievi possibile è $ [-4+10k; 5+10k], k epsilon N_0 $

Ciao

[Sumer]

Nessuno dei due è troppo impegnativo eh... Nel primo i 2n+3 punti medi possono essere trovati in tanti modi senza troppa accortezza



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[veciorik]

Sumer, cosa significa ???

Orsoulx, il quiz è risolubile ammettendo partite tra compagni di squadra, e ha esattamente due soluzioni.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Allievi di Muten, prima incognita: $n$
Partite giocate e vinte da allievi di Muten sui loro compagni:

$v_(mm)=(n(n-1))/2=(n^2-n)/2$

Partite giocate e vinte da allievi dell'eremita sui loro compagni:

$v_(ee)=((n+9)(n+8))/2=(n^2+17n+72)/2$

Partite giocate tra allievi di Muten e allievi dell'eremita:

$p=n(n+9)=n^2+9n$

Vittorie di allievi di Muten su allievi dell'eremita, seconda incognita: $v$
Vittorie di allievi dell'eremita su allievi di Muten:

$v_(em)=p-v=n^2+9n-v$

Rapporto tra le vittorie dei due gruppi:

$v_(ee)+v_(em)=9(v_(mm)+v)$

sviluppato in

$(n^2+17n+72)/2-9(n^2-n)/2+(n^2+9n-v)-9v=0$

da cui

$3n^2-22n-36+10v=0$

risolto in

$n=(11\pm sqrt(229-30v))/3$

con due sole soluzioni intere positive

$n=8$ per $v=2$
$n=6$ per $v=6$

Gonioku vince al massimo $n-1+v$ partite cioè $11$ oppure $9$ con risposta finale: $1109$

[orsoulx]

Grazie veciorik! Perfetto. Nella seconda ipotesi le partite giocate contro i compagni di squadra (non possono esser vinte dagli avversari) portano alla limitazione superiore per il numero di giocatori. Eh, i veneti ben maturati son forti!
Ciao