xXStephXx ha scritto:[...] moltiplicando tutto per $abc$, da una parte ottieni proprio ${abc}/2$ [...]
???
Moltiplicare???
Torniamo al quiz iniziale:
robbstark ha scritto:[...]equazione diofantea:
$ab + bc + ca - (a+b+c) + 1 = (abc)/2$ $a,b,c>0$
.Sottraendo ad $abc$ l'uno e l'altro membro si ricava subito:
$abc - (ab + bc + ca) + (a + b + c) – 1 = abc – (abc)/2$ <=> $(a-1)(b-1)(c-1) = (abc)/2$.
Conviene DIVIDERE entrambi i membri per $abc$. Si ottiene infatti:
$(a–1)/a · (b-1)/b · (c–1)/c = 1/2$
––––
Anche se la soluzione è già stata data, mi piace ritrovarla ... a modo mio.
Se una terna è soluzione, allora soluzione è anche ogni sua distinta permutazione.
Possiamo limitarci alle ricerca delle terne $[a, b, c]$ con $a ≤ b ≤ c$.
Risalta di colpo che se $a$, $b$ e $c$ fossero interi consecutivi (cioè $b = a+1$ e $c = b+1 = a+2$) l'equazione diverrebbe:
$(a-1)/a · a/(a+1) · (a+1)/(a+2) = 1/2$ <=> $(a–1)/(a+2) = 1/2$ <=> $2a - 2 = a + 2$ <=> $a = 4$.
Pertanto una soluzione è $[a, b, c] = [4, 5, 6]$.
Da qui, avendo imposto $a ≤ b ≤ c$, per $a=4$, se fosse $b < 5$ dovrebbe essere $b = 4$ e $c > 6$.
Cerco allora l'eventuale soluzione del tipo $[4, 4, c]$.
$3/4 · 3/4 · (c-1)/c = 1/2$ <=> $(c-1)/c = 8/9$ <=> $c = 9$.
Pertanto un'altra soluzione è $[a, b, c] = [4, 4, 9]$.
Cerco ora eventuali soluzioni con $a < 4$.
Non va bene $a=1$ (che porta all'assurdo 0 = 1/2).
Con $a = 2$ si avrebbe
$1/2 · (b–1)/b · (c-1)/c = 1/2$ <=> $bc – (b+c) + 1 = bc$ <=> $b+c =1$
che non va bene perché il quiz impone $b+c ≥ 2$.
Per $a=3$, moltiplicando entrambi i membri per 2 viene:
$4/3·(b–1)/b · (c–1)/c = 1$; e allora o $b - 1$ è divisibile per 3 oppure $c - 1$ è divisibile per 3.
Supponiamo perciò $b = 3k+1$ (oppure $c=3k+1$) e ... proviamo successivamente per $k = 1, 2, 3, 4, 5 ...$
• $k = 1$ => $b = 4$.
$4/3 · 3/4 · (c–1)/c = 1$ => $c–1 = c$ (impossibile)–––> $b = 4$ NON va bene.
• $k = 2$ –––> $b = 7$.
$4/3· 6/7 · (c–1)/c = 1$ <=> $(c–1)/c= 7/8$ => $c = 8$ ––> Altra soluzione: $[a, b, c] = [3, 7, 8]$.
• $k = 3$ => $c= 10$.
$4/3·(b–1)/b · 9/10= 1$ <=> $(b – 1)/b = 5/6$ <=>$b = 6$ ––> Altra soluzione: $[a, b, c] = [3, 6, 10]$.
• $k = 4$ => $c= 13$.
$4/3·(b–1)/b · 12/13= 1$ <=> $(b – 1)/b = 39/48$ NON va bene [perché viene $b = 16/3$ non intero)].
• $k = 5$ => $c= 16$.
$4/3·(b–1)/b · 15/16 = 1$ <=> $(b – 1)/b = 4/5$ <=>$b = 5$ ––> Altra soluzione: $[a, b, c] = [3, 5, 16]$.
• $k ≥ 6$ => $c= 3k+1 ≥ 19$.
$4/3·3k/(3k+1) · (b–1)/b = 1$ <=> $(b-1)/b=(3k+1)/(4k)$ <=> $b = (4k)/(k-1) = 4 + 4/(k-1)$ che NON va bene per $k≥6$ (perché $b$ non viene intero).
Riassumendo, le soluzioni sono le 5 terne seguenti.
$ [3,5,16]$; $[3, 6, 10]$; $[3, 7, 8]$, $[4,4,9]$, $[4, 5, 6]$
(e ogni loro distinta permutazione).
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