una funzione in $\RR^2$

[Zero87]

Parto da una cosa, diciamo, semplice, prego di dare la precedenza ai ragazzi delle superiori o, in generale, di spoilerizzare le vostre soluzioni. Più che altro voglio vedere quante diverse se ne possono dare.

Dimostrare o confutare che, scelti $(x,y) \in \RR^2$, la funzione
$f(x,y)=(p^x)/(q^y)$
è iniettiva con $p$ e $q$ numeri primi differenti tra loro.

Ho in mente una serie di rilanci per questo quesito, almeno per ora facile. Poi andrò al lavoro e me li dimenticherò tutti questi rilanci...!
Comunque vedrò quando farli e, in generale, inviterò chiunque a fare rilanci se avrà qualche idea interessante da proporre come quesito.

[Pachisi]

Ci provo.

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Edit: Non e` iniettiva. Infatti $f(x_1,y_1)=f(x_1-y_1\log_pq,0)$.

[milizia96]

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$f(1, 1) = f(1-log_{p}q, 0)$

[Pachisi]

Non ci credo...Ho letto interi, ma ho scritto reali...
Modifico subito la soluzione.

[j18eos]

@Pachisi Se ti consola: hai dimostra che quella funzione su \(\displaystyle\mathbb{Z}_{\ge0}^2\) è iniettiva; se ci facevi caso, non lo è su \(\displaystyle\mathbb{Z}^2\)... o ricordo male la tua soluzione?

[Zero87]

Benebene. Avevo trovato la soluzione di Milizia anche se quella di Pachisi è interessante e non ci avevo pensato. Sono troppo abituato ai controesempi singoli!
Ok, rilancio 1.

Restringere il dominio in modo che la $f$ sia iniettiva in quel dominio considerato.
Ora restringere ve lo consento in vari modi: un sottinsieme di $\RR^2$ oppure di $\ZZ^2$, di $\NN^2$, ecc...
Il sottinsieme, magari, dipendente da $p$ o $q$ dire $\RR \times 0$ anche se è una soluzione è un po' troppo facile come sottinsieme di $\RR^2$.

Stavolta la do la mia soluzione.

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E' iniettiva in $\QQ^2$, semplicemente cercando di vedere $(x_1,y_1)\ne (x_2,y_2)$ tali che $f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)$ avrei
$(p^(x_1))/(q^(y_1))=(p^(x_2))/(q^(y_2))$
da cui
$p^(x_1-x_2)=q^(y_1-y_2)$
da cui
$log_p (p^(x_1-x_2))=log_p (q^(y_1-y_2))$
cioè
$x_1-x_2=(y_1-y_2) log_p q$
che non ha soluzioni perché il primo membro è razionale e il secondo no dal momento che $p$ e $q$ sono due primi diversi.

Non ci sono, inoltre, problemi a logaritmare ambo i membri perché gli esponenziali sono tutti positivi

Bonus (facile), senza usare derivate determinare segno e minimo della funzione.

[Newdementia]

Eh, battuta sul tempo. Io avevo fatto così:

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Considero il dominio $A=QQ^2$ e mostro che la funzione è ingettiva su $A$.
Siano $(x,y), (a,b)$ in $A$ tali che $p^x/q^y=p^a/q^b$
Facendo i calcoletti abbiamo che $p^(x-a)=q^(y-b)$
Supponiamo per un attimo che i due esponenti siano numeri interi. Se sono entrambi positivi, abbiamo la tesi, poiché $p$ e $q$ sono primi distinti. Se un esponente è negativo e l'altro positivo, avremmo una uguaglianza tra un numero intero positivo e uno non intero, perciò anche in questo caso bisognerà avere l'uguaglianza tra gli esponenti e quindi la tesi. se sono entrambi negativi, si ritorna al primo caso passando ai reciproci.
Ora possiamo supporre che:
$x-a=c/d$
$y-b=e/f$
dove $c,d,e,f in ZZ$, con d,f diversi da zero. Allora si ha che:
$p^(c/d)=q^(e/f)$. Eleviamo per il prodotto $d*f$ ottenendo che:
$p^(cf)=q^(ed)$. Come sopra, gli esponenti sono numeri interi e perciò dev'essere: $cf=ed=0$, ma $d,f$ sono diversi da zero, perciò $d=e=0$. Questo ci dice che $x-a=y-b=0$ e quindi la tesi.

Ok, spero anche io di non avere fatto errori/orrori. In tal caso, chiedo scusa.

La funzione è sempre positiva, trattandosi di rapporto tra quantità per definizione positive. Per la ricerca del minimo, io direi di rendere minimo il numeratore (e quindi x dovrà tendere a meno infinito) e rendere massimo il denominatore (y qui tenderà a più infinito). Beh, nel complesso la funzione "tende" al valore minimo che è zero, ma non dovrebbe esistere un punto diverso da zero che sia il minimo.

p.s. Non basterebbe dire che $p$ e $q$ siano coprimi?

[Pachisi]

@j18eos: Si, ricordi bene la soluzione.
Dai, un po` mi consola...

[milizia96]

@Newdementia

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Definiamo $k=log_{q}p$, e $j=\frac{k^2}{k-1}$.
Allora $(k+1, k), (j, j) \in A$.
Però $f(k+1, k) = f(j, j)$.

[Newdementia]

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Scusami milizia, in fase di riscrittura non so perché abbia scritto l'insieme $A$ in quel modo, lapsus. $A=QQ^2$