Si ponga:
$F(n, k) = 1 + 2^k + 3^k + 4^k + ... + n^k$,
(dove l'esponente $k$ è un intero non negativo, $n$ è un intero positivo e le basi vanno da 1 a $n$ inclusi).
E' noto che $F(n, k)$ è un polinomio di grado $k+1$ nell'indeterminata $n$ – diciamolo $P_(k+1)(n)$ – a coefficienti razionali. In particolare:
$F(n, 0) = P_1(n) = n$; $F(n, 1) = P_2(n) = n/2 + (n^2)/2$; $F(n, 2) = P_3(n) = n/6 + (n^2)/2+(n^3)/3$.
E' facile verificare che il coefficiente del termine di grado 0 è nullo per qualsiasi $k$ ed il cooefficiente del termine di grado massimo (cioè di grado $k+1$) vale $1/(k+1)$.
Indicando con $a_(k+1),_h$ il coefficiente del termine di grado $h$ del polinomio $P_(k+1)(n) = F(n, k)$, si ha cioè:
$ 1 + 2^k + 3^k + 4^k + ... + n^k = P_(k+1)(n) = a_(k+1), _1n + a_(k+1), _2n^2 + ... + a_(k+1), _kn^k + 1/(k+1)n^(k+1)$.
Dimostrare che il coefficiene del termine di grado $k$ del polinomio $P_(k+1)(n)=F(n,k)$ vale $1/2$ per ogni $k$ intero positivo; ossia la tesi:
$a_(k+1), _k = 1/2$ per ogni $k$ intero positivo.
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Ho editato per correeggere il titolo (dove mancava una lettera).