Funziona a tratti sì ed a tratti no!

[Gi8]

Quando qualcuno risponderà alla richiesta, ho un altro rilancio (pronto da fine novembre)

[xXStephXx]

Una funzione biettiva da $\mathbb{R}- mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$?

[Rigel]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sia \(E\subset\mathbf{R}\) un insieme numerabile (nel caso della richiesta è \(\mathbf{Z}\)).Vogliamo costruire una funzione biiettiva \(f\colon\mathbf{R}\to \mathbf{R}\setminus E\).
Intanto prepariamoci lo spazio nell'albergo (di Hilbert). Consideriamo un altro sottoinsieme \(F\subset\mathbf{R}\) numerabile, disgiunto da \(E\). Per comodità, enumeriamo gli elementi di \(E\cup F\) con \(\{x_1, x_2, \ldots\}\) in modo tale che a \(E\) corrispondano gli elementi di indice dispari e a \(F\) quelli di indice pari.
Definiamo \(f\) su \(E\cup F\) ponendo \(f(x_i) = x_{2i}\) per ogni \(i\in\mathbf{N}^+\); per il resto \(f\) è l'identità, cioè \(f(x) = x\) per ogni \(x\in \mathbf{R}\setminus (E\cup F)\).

[j18eos]

Si vede che io al Grand Hotel Infinito di Hilbert non ci voglia alloggiare...

Rilancio: dimostrare che non esiste una funzione biettiva e continua da \(\displaystyle\mathbb{R}\) a \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

[Gi8]

Una funzione biettiva da $\mathbb{R}- mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$?

Esatto

@Rigel: perfetto. Ottima generalizzazione. Avevo chiesto il contrario,
cioè una biiezione da $RR \\ ZZ$ a $RR$, ma si riesce ad aggiustare facilmente.

[Pachisi]

Per la biiezione da $ RR \\ ZZ $ a $ RR $ non basta una funzione che, per $x$ irrazionale, mappa $x$ a se stesso, mentre per $x$ razionale, ma non intero, mappa $x$ all'entrata precedente nella matrice dei razionali (quella usata da Cantor per dimostrare la numerabilità di essi)?

[xXStephXx]

Rilancio: dimostrare che non esiste una funzione biettiva e continua da \(\displaystyle\mathbb{R}\) a \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

L'immagine di un connesso tramite una funzione continua è connessa?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

scherzo ovviamente xD

[Rigel]

@Rigel: perfetto. Ottima generalizzazione. Avevo chiesto il contrario,
cioè una biiezione da $RR \\ ZZ$ a $RR$, ma si riesce ad aggiustare facilmente.

Beh, stiamo parlando di biiezioni: basta prendere l'inversa.

[j18eos]

@xXStephXx Dimostralo con mezzi elementari!

[xXStephXx]

Per caso riesci a farla senza passare dal fatto che ogni sottoinsieme di $RR$ ammette l'estremo superiore? Quindi neanche usarlo in modo mascherato, tipo col teorema dei valori intermedi...