Somma trigonometrica

[Vulplasir]

Dimostrare che $sum_(k=0)^(n-1) cos((2kpi)/n)+sin((2kpi)/n)=0$

[j18eos]

Non è vero!

Se \(\displaystyle n=1\) allora:
\[
\cos(0)+\sin(0)=1+0\neq0.
\]

[Vulplasir]

Hai ragione, strano però, wolfram alpha lo dà sempre vero. Beh allora riformulo la domanda: dimostrare l'uguaglianza per $n>1$.

[dan95]

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Sappiamo che:
$$\cos(\frac{2\pi k}{n})=\frac{e^{\frac{2\pi k}{n}i}+e^{-\frac{2\pi k}{n}i}}{2}$$ $$\sin(\frac{2\pi k}{n})=\frac{e^{\frac{2\pi k}{n}i}-e^{-\frac{2\pi k}{n}i}}{2i}$$
Sostituiamo e otteniamo:
$\sum_{k=0}^{n-1}[\frac{e^{\frac{2\pi k}{n}i}+e^{-\frac{2\pi k}{n}i}}{2}+\frac{e^{\frac{2\pi k}{n}i}-e^{-\frac{2\pi k}{n}i}}{2i}]=\frac{1+i}{2i}\sum e^{\frac{2\pi k}{n}i}+\frac{i-1}{2i}\sum e^{-\frac{2\pi k}{n}i}$
Ricordando che $\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{2\pi k}{n}i}=\frac{e^{2\pi i}-1}{e^{\frac{2\pi }{n}i}-1}$ e $\sum_{k=0}^{n-1} e^{-\frac{2\pi k}{n}i}=\frac{e^{-2\pi i}-1}{e^{-\frac{2\pi k}{n}i}-1}$, si ha la tesi.
Notare che per $n=1$ la somma fa proprio 1

Penso si possa fare anche con Werner

[Vulplasir]

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Si può fare anche più semplicemente, sempre coi numeri complessi, ricordando che $cos((2kpi)/n)$ e $sin((2kpi)/n)$ rappresentano qualcosa di particolare

[dan95]

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La parte reale e immaginaria delle radici ennesime complesse dell'unità, ti riferisci a questo?

[Vulplasir]

Esatto

[dan95]

Dici che si può risolvere anche graficamente?

[Vulplasir]

Non saprei, il metodo che ho fatto io, con le radici dei numeri complessi, non ha a che fare con la costruzione grafica, anzi, è tutta algebrica, la metto in spoiler:

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Considero l'equazione $x^n-1=0$, per il teorema fondamentale dell'algebra essa ha $n$ radici complesse che sono le radici $n$-esime dell'unità $cos((2kpi)/n)+isin((2kpi)/n)$. Dalle formule di Viete si sa che la somma delle radici di un' equazione di grado $n$ è uguale al rapporto tra il coefficiente di grado $n-1$ e quello di grado $n$ cambiato di segno, se $n>1$ risulta che il termine di grado $n-1$ ha coefficiente $0$ pertanto la somma delle radici $n$-esime di $1$ vale $0$, chiaramente l'unità immaginaria davanti al seno non cambia nulla. Se invece $n=1$ la somma fa $1$ dato che $-(-1)/1=1$

[dan95]

Carina come soluzione: elementare e veloce