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Dimostrare che \(\displaystyle\mathbb{Q}\) è in biezione con \(\displaystyle\mathbb{N}\times\mathbb{Z}\), per l'esercizio 1 quest'ultimo insieme è in biezione con \(\displaystyle\mathbb{N}\times\mathbb{N}\).

Per la prima parte dell'indizio, basta scrivere tutti i numeri razionali in una... tabella (infinita).

La tabella può essere usata per costruire una funzione da $ZZ \times ZZ$ a $QQ$, ma non iniettiva. Questo però può essere usato per concludere che $QQ$ ha cardinalità non superiore a $ZZ$, ma la costruzione della biezione non è esplicita.

Piuttosto un'alternativa al mio metodo può essere quella di considerare solo un quadrante di questa tabella, fatto dalle frazioni positive, e mettere questo in corrispondenza biunivoca con $NN$ numerando lungo le diagonali, facendo attenzione a non contare più volte lo stesso numero razionale (generato da frazioni non ai minimi termini).
Si può poi ripetere la stessa cosa con un quadrante che genera frazioni negative e associare a $ZZ^-$.
Quindi nel complesso si trova una biezione direttamente tra $QQ$ e $ZZ$, quindi tra $QQ$ ed $NN$, grazie al punto 1.

Perché non si avrebbe una funzione iniettiva?

Scrivo le prime due righe della tabella che ho in mente:
\[
\begin{bmatrix}
\dots & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \dots\\
\dots & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & \dots\\
\ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}.
\]
Come vedi, i numeri razionali non si ripetono!

Ok, con quella tabella si può mettere in corrispondenza biunivoca $QQ$ ed $NN \times ZZ$, non $ZZ \times ZZ$. In ogni caso il problema delle ripetizioni si può eliminare facendo attenzione quando si scrive la tabella, come hai mostrato (che non è il caso che solitamente ho incontrato sui libri). Da $NN \times ZZ$ si può facilmente passare ad $NN \times NN$, grazie al punto 1. Occorre ancora dimostrare che $NN \times NN$ ha la stessa cardinalità di $NN$, e mi viene in mente il famoso metodo di numerare per diagonali, anche se è possibile scegliere percorsi alternativi.

Il mio voleva essere un approccio alternativo, che fosse più facile da esprimere in termini di funzioni classiche, per cui mi sono buttato sull'algebra piuttosto che la geometria. Il risultato non è più semplice come speravo, ma mi sembra che comunque sia altrettanto valido.

pensare alla spirale di Archimede!