Successione di vettori ortogonali in uno spazio di Hilbert

[deino]

Problema (Concorso di ammissione SNS IV anno) Sia $H$ uno spazio di Hilbert reale, e sia \( \lbrace e_n \rbrace_{n\geq1} \) una successione di vettori di $H$ a due a due ortogonali tali che

\begin{equation}
\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n} (x,e_i)>e_i
\end{equation}

esiste per ogni $x \in H$. Si mostri che \( \sup ||e_n|| < +\infty \). Si dica anche se tale conclusione vale ancora se non si suppone l’ortogonalità a due a due dei vettori.

Ciao a tutti,

nella speranza che le formule siano leggibili (primo post del forum), comincio col rendere conto dei miei magri propositi.

Ho provato ad utilizzare qualche proprietà del prodotto scalare per cercare di portare qualcosa fuori dalla sommatoria e quindi dal limite, ma senza alcun successo (l'unica cosa plausibile sarebbe portare fuori \( ||x|| \), ma non saprei che farci poi). Allora mi sono detto: potrei portare la norma di \(e_i\) fuori dal prodotto scalare, ma poi otterrei, supponendo \(k:||e_k|| = \infty \) una forma del tipo \( 0 \cdot \infty \), che non saprei come sviluppare ulteriormente.

La cosa più sconcertante è che il quesito mi sembra abbastanza facile, ma non riesco a imboccare la via giusta. Qualche suggerimento?

[deino]

Ho postato per qualche strano caso nella sezione sbagliata, ma non temete, ho già segnalato ad un moderatore. Chiedo perdono

[dissonance]

Cominciamo a porre
\begin{equation}
L_nx=\sum_{i=1}^n (x, e_i)e_i.
\end{equation}
Se moltiplichiamo e dividiamo ogni addendo per \((e_i, e_i)\) (supponendo, ovviamente, \(e_i \ne 0\) per ogni \(i\)), possiamo riscrivere
\begin{equation}\tag{1}
L_nx=\sum_{i=1}^n \lVert e_i\rVert^2P_i x,
\end{equation}
dove \(P_i\) è la proiezione ortogonale sulla retta vettoriale generata da \(e_i\). Ora se conosci il teorema di Banach-Steinhaus puoi applicarlo, concludendo che \(\lVert L_n\rVert \le C <\infty\) per una costante \(C\). Ma prova a calcolare la norma operatoriale di \(L_n\): vuoi vedere che
\[\tag{2}
\lVert L_n\rVert=\max_{1\le i \le n} \lVert e_i\rVert^2 ?
\]

Se invece non conosci il teorema di Banach-Steinhaus puoi comunque districarti in modo diretto, ma io direi che ti conviene sempre passare dalla (1).

[dissonance]

Aggiungo che secondo me il risultato non richiede l'ortogonalità degli \((e_i)\). Nel caso generale, invece della (2), avremo la disuguaglianza seguente (CREDO - non sono sicuro):
\begin{equation}\tag{2bis}
\lVert L_n\rVert \ge \max_{1\le i \le n} \lVert e_i\rVert^2,
\end{equation}
restando valida la \(\lVert L_n\rVert \le C <\infty\) per il teorema di Banach-Steinhaus.

Naturalmente bisogna dimostrare la 2bis, ammesso che sia vera. Un'idea potrebbe essere usare il procedimento di Gram-Schmidt.

[deino]

Grazie mille. Il metodo con Banach Steinaus mi sembra molto pulito e convincente. La norma dell'operatore $L_n$ non saprei come calcolarla, quindi la (2), che sembra in effetti verosimile, la lascio da parte per il momento.

Anche lavorare direttamente la (1) non sembra facilissimo, ma diciamo che ancora sono un novellino in materia, quindi lavorarci un po' non può farmi che bene. Posterò se riesco a trovare qualche passaggio in più [ci sto lavorando...], per il momento grazie ancora.

[dissonance]

Grazie mille. Il metodo con Banach Steinaus mi sembra molot pulito e convincente. La norma dell'operatore $L_n$ non saprei come calcolarla, quindi la (2), che sembra in effetti verosimile, la lascio da parte per il momento.

Sono sicuro che la (2) è vera se i vettori \((e_i)\) sono ortogonali, ma non è strettamente necessaria. Puoi accelerare molto dimostrando direttamente la (2bis), che è sufficiente alla conclusione. Quando i vettori \(e_i\) sono ortogonali la (2bis) è piuttosto semplice da verificare. Ricordati che la norma di un operatore è un sup, quindi per mostrare una disuguaglianza come
\[
\lVert L_n \rVert \ge \text{qualcosa}
\]
è sufficiente trovare un vettore \(x\) tale che \(\lVert L_n x \rVert \ge \text{\qualcosa} \lVert x \rVert.\)