Dimensione di uno spazio di Hausdorff

[mauri54]

Ciao a tutti.
Non riesco a capire come provare la seguente asserzioni.
Dato $X$ uno spazio topologico di Hausdorff con almeno due elementi, allora $dim(X)=0$.

La definizione di dimensione di uno spazio topologico X che mi hanno dato a lezione è la seguente:
$\dim(X)=\text{sup}\{n\in\mathbb{N}\text{ tale che esiste una catena di lunghezza } n \text{ di chiusi irriducibili di } X \}$

Grazie!!

[Pappappero]

Prova a pensare a chi sono i chiusi irriducibili in uno spazio di Hausdorff. Se un sottoinsieme di $X$ contiene piu' di un singolo punto, puo' essere irriducibile?

[mauri54]

Allora forse ho capito.
I chiusi irriducibili di $X$ sono solo i punti.
Infatti se considerassi un sottospazio $Z\subset X$ che contiene almeno due punti $x$ e $y$ allora,poiché $Z$ è T2 (siccome $X$ lo è) esisterebbero due aperti $U$,$V\subset Z$ tali che $x\in U$ e $y\in V$ con \( U \cap V=\varnothing \).

Allora \( Z=Z\setminus\varnothing=Z\setminus (U\cap V)=(Z\setminus U)\cup(Z\setminus V) \) dove $Z\setminus U$ e $Z\setminus V$ sono chiusi di $Z$ e non vuoti perché $y\notin U$ e $x\notin V$.

Quindi $Z$ sarebbe riducibile.

Allora, siccome gli unici chiusi irriducibili di $X$ sono i punti, non riesco a fare catene e quindi la $\dim(X)=0$.
Giusto?

[Pappappero]

Esattamente.

Solo due precisazioni. La cosa importante da notare non e' tanto che i due chiusi che ottieni non sono vuoti, quanto che non sono l'intero $Z$ (ovvero la decomposizione e' non banale).

Alla fine, invece di dire "non riesco a fare catene", direi che le uniche catene che posso fare sono \(\emptyset \subseteq \{ p\}\) con $p$ punto di $X$ (in effetti sono catene onestissime; il punto e' che non possono essere piu' lunghe di cosi').

[j18eos]

Un'altra precisazione: questa è la dimensione (topologica) di Krull.

Ne esistono altre, come la (appunto) dimensione di Hausdorff.

[mauri54]

Esattamente.

Solo due precisazioni. La cosa importante da notare non e' tanto che i due chiusi che ottieni non sono vuoti, quanto che non sono l'intero $Z$ (ovvero la decomposizione e' non banale).

Si hai ragione, volevo dire una cosa del genere!

Alla fine, invece di dire "non riesco a fare catene", direi che le uniche catene che posso fare sono \(\emptyset \subseteq \{ p\}\) con $p$ punto di $X$ (in effetti sono catene onestissime; il punto e' che non possono essere piu' lunghe di cosi').

Teoricamente se considero anche quell'inclusione stretta con il vuoto la definizione di dimensione di Krull che ho citato prima non porterebbe a dire che ci sono catene massimali di lunghezza 1 quindi la $dim(X)$ sarebbe 1? Cioè come definizione di lunghezza ho sempre preso "il numero di inclusioni strette". Forse mi faccio delle paranoie inutili!

[Pappappero]

Credo che uno debba un po' valutare cosa prendere come definizione di lunghezza di una catena. Dire che la catena che contiene solo \(\emptyset\) ha lunghezza $0$ e' un po' fuorviante. Preferirei dire che una catena che ha solo il vuoto ha lunghezza $-1$, e quindi la catena \(\emptyset \subseteq \{ p \}\) ha lunghezza $0$. O magari (che poi e' di fatto la stessa cosa) possiamo richiedere che i chiusi di una catena siano non vuoti e partire da $0$, ma non mi e' chiaro se in quel caso ci sono esempi in cui non ci sono catene (ovvero spazi topologici in cui ogni chiuso e' riducibile).

Spendo giusto due parole sul perche' credo che questa definizione di lunghezza sia "migliore". Questi concetti hanno un impatto forte, ad esempio, in geometria algebrica, dove in effetti, la dimensione di una varieta' come spazio topologico con la topologia di Zariski (qualunque cosa voglia dire tutto questo) e' uguale alla dimensione di quella stessa varieta' (o un aperto di essa) come varieta' differenziale. In particolare, e' comodo dare le definizioni in modo che in una topologia $T_1$, insiemi finiti di punti abbiano dimensione $0$.


Edit: Una precisazione. Sopra ho detto "ma non mi e' chiaro se in quel caso ci sono esempi in cui non ci sono catene". Ora mi e' chiaro, questi esempi non ci sono, ovvero: Ogni spazio topologico non vuoto ha almeno un chiuso irriducibile non vuoto. La dimostrazione usa, se vogliamo, il Lemma di Zorn. Se stai imparando questi concetti, ti consiglio di provare a farla.

[j18eos]

...Spendo giusto due parole sul perche' credo che questa definizione di lunghezza sia "migliore". Questi concetti hanno un impatto forte, ad esempio, in geometria algebrica, dove in effetti, la dimensione di una varieta' come spazio topologico con la topologia di Zariski (qualunque cosa voglia dire tutto questo) e' uguale alla dimensione di quella stessa varieta' (o un aperto di essa) come qualora essa sia pure riguardabile come una varieta' differenziale. In particolare, e' comodo dare le definizioni in modo che in una topologia $T_1$, insiemi finiti di punti abbiano dimensione $0$...

Prendi due rette (affini e reali) incidenti: queste sono una varietà algebrica che non è una varietà differenziabile!

[Pappappero]

Infatti avevo specificato "o un aperto di essa". In effetti i punti lisci di una varieta' algebrica sono un aperto Zariski che e' anche una varieta' differenziale.

[j18eos]

Quasi corretto!

Sia \(\displaystyle X\) una varietà affine reale nel senso classico, ovvero:
\[
\exists f_1,\dots,f_m\in\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]\mid X=V(f_1,\dots,f_m)=\{P\in\mathbb{A}^n_{\mathbb{R}}\mid\forall k\in\{1,\dots,m\},\,f_k(P)=0\}
\]
e in particolare \(\displaystyle X\) è Zariski chiuso in \(\displaystyle\mathbb{A}^n_{\mathbb{R}}\); indicata con \(\displaystyle J_{\underline f}\) la matrice jacobiana ottenuta coi dati polinomi, si definisce il luogo dei punti lisci di \(\displaystyle X\) come:
\[
X_{sm}=\{P\in X\mid rank\,J_{\underline f}\,\text{è massimo}\}
\]
e questi è un sottoinsieme Zariski aperto di \(\displaystyle X\) e quindi è Zariski localmente chiuso in \(\displaystyle\mathbb{A}^n_{\mathbb{R}}\).

Potendo utilizzare il teorema della funzione implicita, si ha che \(\displaystyle X_{sm}\) è una varietà (reale) differenziabile; poi, utilizzando la teoria della dimensione di Krull, si dimostra che la dimensione di Krull di \(\displaystyle X\) e la dimensione di \(\displaystyle X_{sm}\) come varietà differenziabile coincidono.

Non entro nei dettagli!

Un esempio su tutti: il nastro di Möbius, è sia una superficie algebrica liscia (varietà algebrica liscia, di dimensione di Krull \(\displaystyle2\)) e sia una superficie differenziabile in \(\displaystyle\mathbb{A}^4_{\mathbb{R}}\)!