Quesito sui limiti

[Monade]

Scusate premetto che non so se effettivamente sia la sezione giusta o meno.
Ieri ho fatto questo quesito ad un mio amico
Un professore di matematica entra in un'aula di 300 persone circa e chiede: quanta probabilità ho di indovinare il nome di uno di voi?
Il quesito è da intendere nel caso i nomi siano tutti diversi e non esistano nomi più comuni di altri. E' un indovinello che è stato fatto in una facoltà di matematica e che mi è stato raccontato. L'intento era di illustrare il senso del limite. Infatti la risposta dovrebbe essere che il limite di tale probabilita' è approssimabile a zero. Il mio amico però mi ha risposto che per lui non aveva senso siccome anche se era piccola la probabilita' non si poteva approssimare a zero poiché nel campo delle probabilita' anche tra 0.1% e 0 c'è un enorme differenza. Poi mi ha detto che siccome sono ingegnere questo è un grave errore perché non è un caso reale che non esistano nomi comuni e quindi il quesito è poco esplicativo. Io vorrei sapere se effettivamente ha poco senso. Io dopo aver saputo la risposta l'ho trovato esplicativo.... Insomma che ne pensate? E' vero che un esempio del genere è errato e che insomma ho fatto una figura poco bella?

[anto_zoolander]

Il fatto è, secondo me, che la probabilità non va contata su quante persone ci sono nella stanza, ma su quanti nomi effettivamente esistano.

Considera che le 300 persone, sono proprio i casi favorevoli.
Se consideri le persone lì dentro e i nomi fossero solo quelli, avresti una possibilità del $100%$.
Il problema verte sul fatto che i nomi sostanzialmente sono infiniti.

Poniamo che esistano $xgeq300$ nomi

$p(x)=300/x$(casifavorevoli/casipossibili) se $x=300$ allora $p(x)=1$ ovvero il $100%$ considera ora $lim_(x->+infty)p(x)$ più nomi consideri, più la probabilità che tu possa effettivamente azzeccarne uno si abbassa e al limite tende proprio a $0$ considerando infiniti nomi

poniamo per assurdo che esistano solo $300.000$ nomi. $p(300.000)=1/(1.000)=0,001(0,1%)$ e se ne esistessero $600.000$? allora sarebbe $p(600.000)=0,0005(0,05%)$ e così via. Quindi secondo me sì, si può considerare che al limite tenda a $0$ quindi approssimativamente si può considerare $0$.

[Monade]

Grazie davvero per la risposta. Se non avessi specificato il fatto che non bisognava considerare i nomi comuni sarebbe cambiato qualcosa?

[anto_zoolander]

Dipende se puoi dirlo statisticamente.
Ad esempio se sai che 1 persona ogni 3 si chiama 'slamalubala' allora la probabilità che su 300 persone ne becchi uno che si chiami slamalubala è sicuramente del $100%$ e quindi basta prendere 300 persone e dire 'slamalubala' e 100 persone si alzeranno.
Perciò sapendo che 1 persona su 3 si chiami in un determinato modo, ti permette di dire con certezza che se in una stanza ci sono più di 2 persone, una di chiama sicuramente in quel modo.

Naturalmente il discorso cambia se devo beccare una persona precisa con quel nome, in quel caso sarebbe del $33,3%$

Infatti l'indovinello secondo me è molto raffinato. Cioè molti risponderebbero $1/300$

Tornando all'indovinello. Se dici 'quante possibilità ho di scegliere uno di voi ed indovinarne il nome' sarebbe come dire $approx1/(+infty)$ invece se dici 'quante possibilità ho di dire un nome a random ed azzeccare che sia tra di voi' allora sarebbe $approx300/(+infty)$ ma siamo sempre lì, la probabilità di una costante su infiniti casi, è 0.

[Monade]

All'inizio no avevo pensato al fatto dei nomi comuni.... Avevo dato per scontato che il professore intendesse non avvalersi di dati statistici che non erano noti in quel momento. E' anche vero che nella pratica comunque di solito anche se non si conoscono le statistiche precise se chiami un nome comne sicuramente qualcuno si alzera'. Ecco cosa mi è stato contestato All'inzio non avevo fatto questa specificazione e ovviamente tutti rispondevano che la probabilita' era molto alta (circa 90%) tipo

[anto_zoolander]

Beh qualcuno si alzerà certamente se e solo se le persone che sono là dentro, contengono tutti i possibili nomi esistenti sulla terra. Il che è impossibile, poiché certamente esistono più combinazioni di nomi, che persone.

Prendi tutto il pianeta terra e dì 'AA' non si alzerà nessuno(spero, per la sua infanzia).

Puoi anche prendere $p_(x,y)=x/y$ con $x,ygeq300wedgex,yinNN$ e vedere come varia la probabilità in funzione di quanti sono i casi favorevoli(in questo caso le persone) e quanti sono i nomi. Vedrai che se $y>x$ la probabilità è sempre più piccola.

[Monade]

Perché intendi che il professore dica un nome random ma nel caso dicesse un nome comune e non AA tipo Anna o Sara il limite tenderebbe comunque a zero? Grazie ancora davvero

[anto_zoolander]

Aspetta però non stiamo supponendo che il professore 'dica' ma che il professore abbia una certa probabilità di 'indovinare'. Quindi è vero che quanto dica 'Anna o AA' la probabilità sia esattamente la stessa e più nomi esistono, meno probabile è che io indovini.

Questo prescinde dal fatto che possa indovinare o meno. Solo 'quanto è probabile che indovini'.

Ricorda che il limite è, la probabilità tende. Quindi la probabilità non è mai 0, tende a essere sempre più piccola.

[axpgn]

Perciò sapendo che 1 persona su 3 si chiami in un determinato modo, ti permette di dire con certezza che se in una stanza ci sono più di 2 persone, una di chiama sicuramente in quel modo.

Mica vero ... perché ?
Anche se una persona su tre si chiamasse Francesco le tre persone lì presenti potrebbero chiamarsi Aldo, Giacomo e Giovanni ... tu che ne sai? Anche perché se lo sapessi allora non avrebbe senso il quesito ... non ti pare ?

Cordialmente, Alex

[Bubbino1993]

Quindi la probabilità non è mai 0, tende a essere sempre più piccola.

In teoria, esistono anche eventi di probabilità nulla. Riporto dalla fonte¹: "Abbiamo detto che assegniamo probabilità nulla ad un evento che riteniamo impossibile. Ma non è vero il contrario, anche se ciò può sorprendere. Questo accade quando gli eventi presi in considerazione rappresentano una descrizione talmente particolareggiata di un accadimento che lo spazio di tutte le configurazioni possibili contiene un numero infinito di possibilità (anzi $ \infty^n$, per parlare in termini matematici, con $ n$ abbastanza grande). Quella che sembrerebbe un'affermazione sorprendente può essere verificata osservando la realtà che ci circonda e riflettendo, ad esempio, a quale sarebbe stata la probabilità - se avessi dovuto valutarla la settimana scorsa, o anche qualche minuto fa - che tu stia leggendo questa frase in questo esatto momento, mentre c'è una certa condizione meteorologica, con le persone che ti circondano vestite in un certo modo, che si scambiano certe frasi, la radio che trasmette una certa canzone o una precisa notizia di cronaca, etc. Non servono teoremi matematici per convincersi che tutti gli eventi che accadono "avevano'' probabilità nulla. Ma non per questo sono impossibili, altrimenti nulla accadrebbe. L'infinita varietà di eventi di probabilità nulla fa sì che la loro "somma'' dia sempre l'evento certo ("qualcosa accade'').". Comunque il concetto è quello.

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Note

1. https://www.roma1.infn.it/~dagos/PRO/node21.html ↑