[Controlli Automatici] dubbi Nyquist

[guardiax]

Salve ragazzi ho letto già un paio di post riguardanti questo argomento ma non trovo risposte alle mie domande o meglio non del tutto sicure....

partendo dal fatto che so disegnare i dirgrammi di bode asintotici volevo sapere per prima cosa quando passo a quello di Nyquist( so vedere da Bode a Nyquist cioè a w->0 e w->oo e credo di aver capito anche nel mezzo come fare basta vedere fase e modulo come si muovo e riportarli su Nyquist ) so che è un grafico approsimativo e non serve precisione ma come faccio a vedere sul diagramma di bode dove interseca l'asse reale in Nyquist cioè quel punto dove sul grafico polare passo per l'asse reale vorrei conosce quel numero partendo da bode .... questo anche perchè col crterio di Nyquist di stabilità mi serve per capire se quando giro, il punto -1 sta all'interno della curva o no perchè se non conosco il punto preciso dove intersecca l'asse non capisco se sto prima o dopo -1 .... non so se si e capito il mio problema... aspetto qualche risposta se no cerco di rispiegarlo....

[Vexx23*]

Credo di aver capito il tuo problema, effettivamente se devi fare a mano il diagramma di Nyquist e da questo dedurre una considerazione sulla stabilità del sistema, non è certo una questione trascurabile.
Ti propongo la mia soluzione al problema: Il punto che stai cercando non è altro che l'intersezione della funzione di trasferimento del sistema \(H(s)|_{s=j\omega} = H(j\omega)\) con l'asse reale del piano complesso; pertanto per trovare tale intersezione ti basterà imporre che, ad una certa pulsazione, che per semplicità chiamo \( \omega _0\), la funzione di trasferimento assuma valori reali, o equivalentemente, la sua parte immaginaria sia uguale a 0.
Utilizzando la prima delle due definizioni, puoi scrivere, separando numeratore e denominatore:
\(H(j\omega_0) = \frac{N_H(j\omega_0)}{D_H(j\omega_0)} = K \in \mathbb{R}\)
cioè la funzione di trasferimento, scritta come frazione di polinomi, deve essere uguale ad un numero reale.
A questo punto ti basterà risolvere il relativamente semplice sistema:
\( \begin{cases} \mathrm{Re}\{N_H(j\omega _0)\} = K\mathrm{Re}\{D_H(j\omega _0)\} \\ \mathrm{Im}\{N_H(j\omega _0)\} = K\mathrm{Im}\{D_H(j\omega _0)\} \end{cases} \)
per ottenere il valore di di \(\omega_0\), la pulsazione di attraversamento dell'asse reale, che puoi 'annotare' sul diagramma di Nyquist, ma soprattutto il valore di tale intersezione \(K\), che puoi utilizzare per studiare la stabilità.
In teoria potresti risolvere l'equazione \( \mathrm{Im}\{H(j\omega _0)\} = 0\) che, richiede di scrivere un'espressione unica come della funzione di trasferimento come \( H(j\omega) = \mathrm{Re}\{H(j\omega)\} + j\mathrm{Im}\{H(j\omega)\}\), operazione non poco fastidiosa e comunque sicuramente innaturale dal momento che qualunque funzione di trasferimento viene data come rapporto di polinomi; inoltre in questo modo dovresti prima ottenere la pulsazione di attraversamento e poi sostituire tale valore in \(H\) per ottenere il valore che interessa, per cui suggerisco di sicuro il primo metodo.

[guardiax]

Ok ho letto la tua risposta proverò a fare anche così... ma volevo chiederti dato che all'esame non ho tanto tempo... mi chiedevo se potevo fare queste considerazioni partendo dai diagrammi di bode (che devo per forza fare perchè nell'esercizio d'esame lo chiederà) duqnue per risparmiare tempo ed usare cose che devo già fare posso ricavare dai diagrammi di bode fase e modulo le stesse cose!? dimmi di si e come

[Vexx23*]

Se disponi di un pc e di un software in grado di diagrammare per te la risposta in frequenza allora è abbastanza facile.
Il punto in questione ha infatti fase pari a \(-180°\) o, equivalentemente qualunque angolo ottenuto sommando un numero intero di volte \(360°\) a \(-180°\). Ti basterebbe identificare con il cursore (per esempio su MATLAB) la pulsazione \(\omega_{-180°}\) alla quale il diagramma di fase attraversa i \(-180°\); quindi passi al diagramma di modulo e valuti il guadagno in \(\text {dB}\) a quella frequenza, che chiamo per semplicità, \(|H_{-180°}|_{\text{dB}} =|H(j\omega_{-180°})|_\text{dB} \).
Usando un po' di formule inverse da scala lineare a logaritmica, se hai difficoltà in questo chiedi pure, il punto che cerchi avrà quindi parte reale pari a:
\( -10^{ \frac{ \left|H_{-180°}\right|_{\text{dB}} }{20}} \)
Questo è il valore negativo che devi segnare sul diagramma polare/di nyquist.

[guardiax]

ok ok credo di aver capito comunque no nn ho un pc o di un software e tutto carta e penna .... non è un problema perchè il prof dice che deve essere un grafico qualitativo non preciso però come ti ho detto prima volevo sapere solo una cosa precisa cioè il punto -1 se sta prima o dopo da quello che ho capito dopo aver fatto bode vado a vedere nel punto -Pi o + pi o suoi multi quando vale il modulo in dB e con quella formula mi ricavo il numero in naturale cioè quello che vado a mettere sul polare.... ad esempio se il modulo è $-6dB$ in naturale sarebbe $0.5$ giusto!? cmq credo di aver capito.........

[Vexx23*]

\(-6\text{dB}\) corrispondono circa a dimezzare il guadagno quindi si.

[guardiax]

Graize... mi chiedevo se posso chieder anche a te per la parte di controllori cioè costruire un controllore soddisfando alcune specifiche...

[Vexx23*]

Non ti posso promettere una risposta sicura, ho dato solamente due esami di controlli automatici. Tu prova
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[guardiax]

bhe con due esami mi sembra che stai messo bene nel mio corso di laurea ne ho solo uno questo ... comuqnue ti voelvo cheidere alcune cose per quanto riguarda le carte di nichols e $w_3$ e $w_r$ cioè vedere sulla carta di nichols sia $w_c$ che $w_3$ e $w_r$ senza dover disegnare per forza bode.... se credi di potermi aiutare ti faccio una domande chiara e apro un nuovo topic...

[guardiax]

morto? xD