Legge dei valori attesi iterati

[eranio]

Salve, ho un esercizio complesso che ho davvero difficoltà a sbrogliare.

Supponi di avere un largo numero di individui i = 1....N. Per ogni individuo, si osserva una serie storica che è una realizzazione di un processo AR(1):

$ y(i,t) = m + a(i)y(i,t-1) + e(i,t)$

Gli individui differiscono l'uno dall'altro di un parametro a, che è distribuito, come una variabile casuale con supporto A=[0,1) e funzione di densità $f(a(i)) = 2(1 - a(i))$.
Assumendo che:
(1) e(i,t) è ortogonale ad e(i,s) per ogni i,j,t ed s.
(2) E(e(i,t)) = 0
(3) 0 < V(e(i,t)) = $sigma^2$ < infinito

Ora, considerando il processo stocastico: Y(t) = E(y(i,t)):

(1) Calcola E(Y(t)); (suggerimento: parti da E(y(i,t)|a(i)) e usa la legge dei valori attesi iterati)
(2) Calcola V(Y(t)); (suggerimento: parti dal caso speciale m = 0)
(3) Calcola la funzione di autocorrelazione di Y(t); (suggerimento: usa la legge dei valori attesi iterati)
(4) Mostra che è impossibile rappresentare Y(t) come un processo autoregressivo di qualsiasi ordine.

Mi rammarico per le i e le t tra parentesi, ovviamente dovevano essere scritti a pedice!

[markowitz]

Direi che
$E[Y(t)]=2*m$
dove intendo chiaramente la speranza non condizionale al tempo. Per il resto ho paura ci siano un po di conti da fare ...

[eranio]

Sapresti spiegarmi come sei giunto a tale risultato?
Grazie!

[markowitz]

Premetto che non sono certo del procedimento che mostro ma mi sembra tornare.
Per prima cosa consideriamo che $E[Y_(t,i)|a_i]$ equivale a pensare ad un AR(1) tipico dove $a_i$ è costante, quindi:

$E[Y_t,i|a_i]= m / (1-a_i)$

adesso se poniamo che $a_i$ è interpretabile come realizzazione di una v.a. $A$ con distribuzione continua e densità $f(a)=2(1-a)$ (evitiamo il pedice) e supporto [0,1), peraltro è proprio tale supporto che ci autorizza senza indugi ad usare il valore atteso che ho mostrato, possiamo trovare $E[Y_t,i]$ dove però il valore atteso che ho espresso sopra in termini parametrici possiamo pensarlo come una $g(A)$.
Allora sapiamo che $E[g(A)] = \int g(a) f(a) da$
quindi applicando abbiamo
$E[Y_t,i] \int_(0,1) m/(1-a) 2(1-a)da = 2m$

Ti torna? Hai provato a rispondere anche agli altri punti ?

[eranio]

Beh mi sembra assolutamente corretto.
Allora il secondo punto potrebbe risolversi come segue:
scomponiamo la varianza $V(y) = V[E(y|a)] + E[V(y|a)]$
il primo termine a destra del'uguaglianza scompare se poniamo m=0 (come per ipotesi)
dunque
$V(y) = E[V(y|a)]$

$V(y|a) = a^2V(y|a) + V(e|a)$
$V(y|a) = sigma^2/(1-a^2)$

$V(y) = E[V(y|a)] =2 \int_(0,1) sigma^2/(1-a^2) (1-a)da = 2 sigma^2\int_(0,1) 1/(1+a)da = 2 sigma^2log(2)$

Ti sembra ragionevole?
Gli altri punti dovrebbero seguire il simile ragionamento.
Grazie!

[markowitz]

Il procedimento che proponi è lo stesso a cui avevo pensato io è mi sembra la via migliore.
Nello specifico, questa parte

dunque
$ V(y) = E[V(y|a)] $

$ V(y|a) = a^2V(y|a) + V(e|a) $
$ V(y|a) = sigma^2/(1-a^2) $

$ V(y) = E[V(y|a)] =2 \int_(0,1) sigma^2/(1-a^2) (1-a)da = 2 sigma^2\int_(0,1) 1/(1+a)da = 2 sigma^2log(2) $

Ti sembra ragionevole?
Gli altri punti dovrebbero seguire il simile ragionamento.
Grazie!

dico che è corretta

tuttavia

scomponiamo la varianza $ V(y) = V[E(y|a)] + E[V(y|a)] $
il primo termine a destra del'uguaglianza scompare se poniamo m=0 (come per ipotesi)

questa parte non mi convince.
Forse stai presupponendo di lavorare con la varianza di una costante (in particolare la varianza di $0$), peraltro in tale caso non ti servirebbe neppure il fatto che $m=0$, ma è proprio il punto che mi lascia perplesso. Se veramente fossimo autorizzati a farlo, allora il primo termine scomparirebbe sempre ... mentre penso che dovremmo ritrovarci con una funzione di $a$.
Come ti dicevo i calcoli si complicano.
Per gli altri punti, fermo restando che resterei su questo approccio, penso si complichino ancora di più.

In ogni caso una domanda: dove hai preso questo esercizio ? Lo hai inventato tu o ti è stato assegnato in un corso di studi? Se si quale ? Econometria ? Hai un testo di riferimento ?