Partizioni e classi di equivalenza

Messaggioda anto_zoolander » 02/05/2016, 17:39

Buondì :-D

Sto studiando questo teorema:

le classi di equivalenza di un insieme $A$ costituiscono una partizione di $A$

Per 'le classi di equivalenza' si intende l'insieme quoziente di $A$?

Cioè la formulazione: l'insieme quoziente di $A$ è una partizione di $A$ è equivalente?
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Re: Partizioni e classi di equivalenza

Messaggioda dan95 » 02/05/2016, 19:48

Le classi di equivalenza formano una partizione dell'insieme, cioè suddividono l'insieme in sottoinsiemi non vuoti a due a due disgiunti la cui unione è l'insieme stesso. Mentre l'insieme quoziente è un insieme ben definito (per l'assioma della scelta) contenente solo i rappresentati di ogni classe. In sostanza con partizione non si intende un insieme ma una divisione dell'insieme con certe proprietà, quindi non può essere uguale all'insieme quoziente.
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Re: Partizioni e classi di equivalenza

Messaggioda Martino » 02/05/2016, 20:02

L'insieme quoziente è l'insieme delle classi di equivalenza. Quindi risponderei che sì, l'insieme quoziente è una partizione di A.
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Re: Partizioni e classi di equivalenza

Messaggioda anto_zoolander » 02/05/2016, 20:13

A chi devo ascoltare :-D Io penso più che i due enunciati siano equivalenti.

Anche perché $[a]=[b] <=> aRb$ se due classi contengono uno stesso elemento, allora le classi sono uguali, questo fa sì anche che l'intersezione tra due classi diverse sia certamente vuota, e che l'Unione di tutte le classe formi l'intero insieme.
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Re: Partizioni e classi di equivalenza

Messaggioda dan95 » 02/05/2016, 20:22

Wikipedia conferma ciò che è stato detto da Martino. Rimango comunque un pò dubbioso perché la partizione è una famiglia di sottoinsiemi dunque non un insieme.
La famiglia delle classi di equivalenza è una partizione...
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Re: Partizioni e classi di equivalenza

Messaggioda anto_zoolander » 02/05/2016, 23:36

\(\displaystyle \)Mh.. Certamente il teorema afferma che:

$• bigcup_(iinI)[a]_i=A$

$• [a]_icap[a]_jneemptyset <=> [a]_i=[a]_j foralli,jinI$

Quindi certamente ${[a]_i}_(iinI)$ è una partizione di $A$ e $A/R={[a]:ainA}$ ha come elementi proprio quelli della partizione.
quindi gli elementi dell'insieme quoziente, presi tutti ma singolarmente, formano una partizione di $A$

Magari suona meglio come: gli elementi dell'insieme quoziente di $A$ costituiscono una partizione di $A$
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Re: Partizioni e classi di equivalenza

Messaggioda Martino » 03/05/2016, 00:06

dan95 ha scritto:Rimango comunque un pò dubbioso perché la partizione è una famiglia di sottoinsiemi dunque non un insieme.
Una famiglia di sottoinsiemi è un insieme, dai un'occhiata qui per esempio.
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Re: Partizioni e classi di equivalenza

Messaggioda anto_zoolander » 03/05/2016, 00:30

quindi definita su $A$ una relazione di equivalenza $R_~$, l'insieme $A/(R_~)$ è una partizione di $A$.
Ottimo. Grazie mille :-D
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Re: Partizioni e classi di equivalenza

Messaggioda garnak.olegovitc » 03/05/2016, 19:52

anto_zoolander ha scritto:quindi definita su $A$ una relazione di equivalenza $R_~$, l'insieme $A/(R_~)$ è una partizione di $A$.
Ottimo. Grazie mille :-D
puoi sempre dimostrarlo e farti ancora piú convinto se ti va :smt044 :smt044 (queste non sono calate dal cielo o tali sono per sentito dire... )
\(2592=2^59^2\)
\( 3435=3^3+4^4+3^3+5^5\)
\( [ (R|R^{-1}) \; \cap \; Di\;] \cup [(R^{-1}|R) \; \cap \; Di\;] \cup [\;\sim R \;\dagger \emptyset\;] \cup [\;\emptyset \; \dagger \sim R \;] = \emptyset \)
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Re: Partizioni e classi di equivalenza

Messaggioda anto_zoolander » 03/05/2016, 20:07

:-D l'ho fatto.
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