Problema con Esercizio sugli integrali

[whowas]

Salve ho un problema con un integrale.
In particolare l'integrale in questione risulta essere :
$\int \frac{\sqrt(2e^x + 2)}{2e^x - 2} * e^x dx$
Ho provato a cerca un qualche metodo per sostituire purtroppo non riesco a risolvere. Potreste darmi una mano per favore ? Grazie mille.

[tommik]

Se lo guardi bene. ...a parte sistemare qualche coefficiente, è facile ricondurlo ad un integrale del tipo $ int 1/(t^2-4) dt $...quindi molto semplice

[Light_]

Ciao !

Io inizierei portando $e^x$ nel differenziale , a quel punto trovi

$ \int \frac{\sqrt(2e^x + 2)}{2e^x - 2} * e^x dx=1/sqrt2intsqrt(x+1)/(x-1)dx $

da qui la sostituzione che mi sembra più veloce è

$sqrt(x+1)=y$

[anto_zoolander]

Considera ad occhio l'opportunità di sostituzione della radice.. Di fatti:

$y=sqrt(e^x+1) <=> dy=e^x/(2sqrt(e^x+1))dx$

che è una cosa facilmente ottenibile se moltiplichi numeratore e denominatore per $sqrt(e^x+1)$
Infondo le tre cose dette sono tutte equivalenti e portano alla stessa soluzione.

[tommik]

Ho provato a cerca un qualche metodo per sostituire purtroppo non riesco a risolvere.

riassumendo: in qualunque modo tu attacchi l'integrale lo risolvi facilmente...ora una domanda mi sorge spontanea...tu che sostituzione hai provato a fare?

[whowas]

Salve, grazie a tutti per le risposte.
Per quanto riguarda il mio svolgimento, ho utilizzato la sostituzione $t = \sqrt(2e^x + 2)$, arrivando esattamente ad $\int \frac{1}{t^2 - 4}$.
Applicando i metodi di integrazione dei fratti semplici, sono arrivato ad avere:
$ \int 4 dt + \frac{1}{4}\int \frac{1}{t-2} dt - \frac{1}{4} \int \frac{1}{t+2} dt $
Tuttavia non riuscivo ad arrivare ad una soluzione certamente corretta, in quando su wolfram alfa, notavo che la soluzione se non sbaglio era $tagh^-1$ di qualcosa, mentre nella mia soluzione trovo una costante per t sommata ad un ln.
Con precisione ho come risultato:
$4\sqrt(2e^x + 2) + \frac{1}{4} ln|\frac{\sqrt(2e^x + 2) -2}{\sqrt(2e^x + 2) + 2}|$.
Come risultato è esatto oppure ho commesso qualche errore ?

[anto_zoolander]

C'è qualche piccolo errore con le costanti. Roba da poco, però dovrebbe venire:

$sqrt(2e^x+2)+ln|(sqrt(e^x+1)-sqrt2)/(sqrt(e^x+1)+sqrt2)|+c$